Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14116 / 10772
↖ ↑ ↗
← N 52.348763°
W 24.916992°		 ← 746.20 m → N 52.348763°
W 24.906006°		 →
↑
746.30 m
↓
↑
746.30 m
↓
N 52.342052°
W 24.916992°		 ← 746.32 m →
556 933 m²		 N 52.342052°
W 24.906006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430801391601562 y=0.328750610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430801391601562 × 215)
    floor (0.430801391601562 × 32768)
    floor (14116.5)     		tx = 14116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328750610351562 × 215)
    floor (0.328750610351562 × 32768)
    floor (10772.5)     		ty = 10772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14116 / 10772 ti = "15/14116/10772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14116/10772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14116 ÷ 215
    14116 ÷ 32768     		x = 0.4307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10772 ÷ 215
    10772 ÷ 32768     		y = 0.3287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3287353515625 × 2 - 1) × π
    0.342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07608752267102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43488355} λ = -0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07608752267102))-π/2
    2×atan(2.93318106752668)-π/2
    2×1.24222730182429-π/2
    2.48445460364858-1.57079632675     		φ = 0.91365828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91365828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.348763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14116 KachelY 10772 -0.43488355 0.91365828 -24.916992 52.348763
    Oben rechts KachelX + 1 14117 KachelY 10772 -0.43469181 0.91365828 -24.906006 52.348763
    Unten links KachelX 14116 KachelY + 1 10773 -0.43488355 0.91354114 -24.916992 52.342052
    Unten rechts KachelX + 1 14117 KachelY + 1 10773 -0.43469181 0.91354114 -24.906006 52.342052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91365828-0.91354114) × R
    0.000117140000000071 × 6371000     		dl = 746.298940000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91365828-0.91354114) × R
    0.000117140000000071 × 6371000     		dr = 746.298940000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43488355--0.43469181) × cos(0.91365828) × R
    0.000191739999999996 × 0.610853423311212 × 6371000     		do = 746.203600442225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43488355--0.43469181) × cos(0.91354114) × R
    0.000191739999999996 × 0.610946163977666 × 6371000     		du = 746.316890171929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91365828)-sin(0.91354114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610853423311212-0.610946163977666)×R²
    abs(-0.43469181--0.43488355)×9.27406664543717e-05×R²
    0.000191739999999996×9.27406664543717e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.27406664543717e-05×40589641000000     		ar = 556933.230674124m²