Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14115 / 4062
↖ ↑ ↗
← N 79.241287°
W 24.927978°		 ← 228.05 m → N 79.241287°
W 24.916992°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
N 79.239236°
W 24.927978°		 ← 228.09 m →
52 018 m²		 N 79.239236°
W 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430770874023438 y=0.123977661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430770874023438 × 215)
    floor (0.430770874023438 × 32768)
    floor (14115.5)     		tx = 14115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123977661132812 × 215)
    floor (0.123977661132812 × 32768)
    floor (4062.5)     		ty = 4062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14115 / 4062 ti = "15/14115/4062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14115/4062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14115 ÷ 215
    14115 ÷ 32768     		x = 0.430755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4062 ÷ 215
    4062 ÷ 32768     		y = 0.12396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.13848876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43507530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12396240234375 × 2 - 1) × π
    0.7520751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36271390847333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43507530} λ = -0.43507530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36271390847333))-π/2
    2×atan(10.6197333633915)-π/2
    2×1.47690884850024-π/2
    2.95381769700048-1.57079632675     		φ = 1.38302137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43507530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.927978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38302137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.241287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14115 KachelY 4062 -0.43507530 1.38302137 -24.927978 79.241287
    Oben rechts KachelX + 1 14116 KachelY 4062 -0.43488355 1.38302137 -24.916992 79.241287
    Unten links KachelX 14115 KachelY + 1 4063 -0.43507530 1.38298557 -24.927978 79.239236
    Unten rechts KachelX + 1 14116 KachelY + 1 4063 -0.43488355 1.38298557 -24.916992 79.239236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38302137-1.38298557) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dl = 228.081800000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38302137-1.38298557) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dr = 228.081800000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43507530--0.43488355) × cos(1.38302137) × R
    0.000191749999999991 × 0.186673427425948 × 6371000     		do = 228.047585875553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43507530--0.43488355) × cos(1.38298557) × R
    0.000191749999999991 × 0.186708598014744 × 6371000     		du = 228.090551647272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38302137)-sin(1.38298557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186673427425948-0.186708598014744)×R²
    abs(-0.43488355--0.43507530)×3.51705887957909e-05×R²
    0.000191749999999991×3.51705887957909e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.51705887957909e-05×40589641000000     		ar = 52018.4037326397m²