Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14114 / 10786
↖ ↑ ↗
← N 52.254709°
W 24.938965°		 ← 747.83 m → N 52.254709°
W 24.927978°		 →
↑
747.89 m
↓
↑
747.89 m
↓
N 52.247983°
W 24.938965°		 ← 747.94 m →
559 338 m²		 N 52.247983°
W 24.927978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430740356445312 y=0.329177856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430740356445312 × 215)
    floor (0.430740356445312 × 32768)
    floor (14114.5)     		tx = 14114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329177856445312 × 215)
    floor (0.329177856445312 × 32768)
    floor (10786.5)     		ty = 10786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14114 / 10786 ti = "15/14114/10786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14114/10786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14114 ÷ 215
    14114 ÷ 32768     		x = 0.43072509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10786 ÷ 215
    10786 ÷ 32768     		y = 0.32916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43072509765625 × 2 - 1) × π
    -0.1385498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43526705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32916259765625 × 2 - 1) × π
    0.3416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0734030562923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43526705} λ = -0.43526705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0734030562923))-π/2
    2×atan(2.92531760089634)-π/2
    2×1.24140652251335-π/2
    2.48281304502671-1.57079632675     		φ = 0.91201672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43526705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.938965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91201672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.254709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14114 KachelY 10786 -0.43526705 0.91201672 -24.938965 52.254709
    Oben rechts KachelX + 1 14115 KachelY 10786 -0.43507530 0.91201672 -24.927978 52.254709
    Unten links KachelX 14114 KachelY + 1 10787 -0.43526705 0.91189933 -24.938965 52.247983
    Unten rechts KachelX + 1 14115 KachelY + 1 10787 -0.43507530 0.91189933 -24.927978 52.247983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91201672-0.91189933) × R
    0.000117389999999995 × 6371000     		dl = 747.891689999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91201672-0.91189933) × R
    0.000117389999999995 × 6371000     		dr = 747.891689999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43526705--0.43507530) × cos(0.91201672) × R
    0.000191749999999991 × 0.612152294485675 × 6371000     		do = 747.829269921222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43526705--0.43507530) × cos(0.91189933) × R
    0.000191749999999991 × 0.612245115222901 × 6371000     		du = 747.942663377032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91201672)-sin(0.91189933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612152294485675-0.612245115222901)×R²
    abs(-0.43507530--0.43526705)×9.28207372263845e-05×R²
    0.000191749999999991×9.28207372263845e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.28207372263845e-05×40589641000000     		ar = 559337.700166738m²