Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14112 / 18592
↖ ↑ ↗
← N 77.970745°
W141.240235°		 ← 63.65 m → N 77.970745°
W141.237488°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.970173°
W141.240235°		 ← 63.66 m →
4 051 m²		 N 77.970173°
W141.237488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107669830322266 y=0.141849517822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107669830322266 × 217)
    floor (0.107669830322266 × 131072)
    floor (14112.5)     		tx = 14112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141849517822266 × 217)
    floor (0.141849517822266 × 131072)
    floor (18592.5)     		ty = 18592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14112 / 18592 ti = "17/14112/18592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14112/18592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14112 ÷ 217
    14112 ÷ 131072     		x = 0.107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18592 ÷ 217
    18592 ÷ 131072     		y = 0.141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.78466796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46510713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141845703125 × 2 - 1) × π
    0.71630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25034981576392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46510713} λ = -2.46510713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25034981576392))-π/2
    2×atan(9.49105537649784)-π/2
    2×1.4658212734273-π/2
    2.9316425468546-1.57079632675     		φ = 1.36084622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46510713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36084622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.970745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14112 KachelY 18592 -2.46510713 1.36084622 -141.240235 77.970745
    Oben rechts KachelX + 1 14113 KachelY 18592 -2.46505919 1.36084622 -141.237488 77.970745
    Unten links KachelX 14112 KachelY + 1 18593 -2.46510713 1.36083623 -141.240235 77.970173
    Unten rechts KachelX + 1 14113 KachelY + 1 18593 -2.46505919 1.36083623 -141.237488 77.970173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36084622-1.36083623) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dl = 63.6462899993899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36084622-1.36083623) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dr = 63.6462899993899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46510713--2.46505919) × cos(1.36084622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208411102489631 × 6371000     		do = 63.6541152020697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46510713--2.46505919) × cos(1.36083623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20842087311196 × 6371000     		du = 63.6570994016249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36084622)-sin(1.36083623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208411102489631-0.20842087311196)×R²
    abs(-2.46505919--2.46510713)×9.77062232926373e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.77062232926373e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.77062232926373e-06×40589641000000     		ar = 4051.44324253415m²