Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14111 / 18591
↖ ↑ ↗
← N 77.971317°
W141.242981°		 ← 63.64 m → N 77.971317°
W141.240235°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.970745°
W141.242981°		 ← 63.64 m →
4 050 m²		 N 77.970745°
W141.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107662200927734 y=0.141841888427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107662200927734 × 217)
    floor (0.107662200927734 × 131072)
    floor (14111.5)     		tx = 14111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141841888427734 × 217)
    floor (0.141841888427734 × 131072)
    floor (18591.5)     		ty = 18591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14111 / 18591 ti = "17/14111/18591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14111/18591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14111 ÷ 217
    14111 ÷ 131072     		x = 0.107658386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18591 ÷ 217
    18591 ÷ 131072     		y = 0.141838073730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107658386230469 × 2 - 1) × π
    -0.784683227539062 × 3.1415926535     		Λ = -2.46515506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141838073730469 × 2 - 1) × π
    0.716323852539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.25039775266354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46515506} λ = -2.46515506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25039775266354))-π/2
    2×atan(9.49151035917185)-π/2
    2×1.46582626860125-π/2
    2.9316525372025-1.57079632675     		φ = 1.36085621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46515506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.242981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36085621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.971317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14111 KachelY 18591 -2.46515506 1.36085621 -141.242981 77.971317
    Oben rechts KachelX + 1 14112 KachelY 18591 -2.46510713 1.36085621 -141.240235 77.971317
    Unten links KachelX 14111 KachelY + 1 18592 -2.46515506 1.36084622 -141.242981 77.970745
    Unten rechts KachelX + 1 14112 KachelY + 1 18592 -2.46510713 1.36084622 -141.240235 77.970745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36085621-1.36084622) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dl = 63.6462899993899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36085621-1.36084622) × R
    9.98999999990424e-06 × 6371000     		dr = 63.6462899993899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46515506--2.46510713) × cos(1.36085621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208401331846502 × 6371000     		do = 63.6378537473906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46515506--2.46510713) × cos(1.36084622) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.208411102489631 × 6371000     		du = 63.6408373308108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36085621)-sin(1.36084622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208401331846502-0.208411102489631)×R²
    abs(-2.46510713--2.46515506)×9.77064312870923e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.77064312870923e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.77064312870923e-06×40589641000000     		ar = 4050.40824151483m²