Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14111 / 10783
N 52.274880°
W 24.971924°
← 747.49 m → N 52.274880°
W 24.960937°

747.51 m

747.51 m
N 52.268157°
W 24.971924°
← 747.60 m →
558 798 m²
N 52.268157°
W 24.960937°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430648803710938 y=0.329086303710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430648803710938 × 215)
    floor (0.430648803710938 × 32768)
    floor (14111.5)
    tx = 14111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329086303710938 × 215)
    floor (0.329086303710938 × 32768)
    floor (10783.5)
    ty = 10783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14111 / 10783 ti = "15/14111/10783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14111/10783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14111 ÷ 215
    14111 ÷ 32768
    x = 0.430633544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10783 ÷ 215
    10783 ÷ 32768
    y = 0.329071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.430633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.13873291015625 × 3.1415926535
    Λ = -0.43584229
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.329071044921875 × 2 - 1) × π
    0.34185791015625 × 3.1415926535
    Φ = 1.07397829908774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43584229} λ = -0.43584229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07397829908774))-π/2
    2×atan(2.9270008528635)-π/2
    2×1.24158255057093-π/2
    2.48316510114185-1.57079632675
    φ = 0.91236877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43584229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91236877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.274880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14111 KachelY 10783 -0.43584229 0.91236877 -24.971924 52.274880
    Oben rechts KachelX + 1 14112 KachelY 10783 -0.43565054 0.91236877 -24.960937 52.274880
    Unten links KachelX 14111 KachelY + 1 10784 -0.43584229 0.91225144 -24.971924 52.268157
    Unten rechts KachelX + 1 14112 KachelY + 1 10784 -0.43565054 0.91225144 -24.960937 52.268157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.91236877-0.91225144) × R
    0.000117330000000027 × 6371000
    dl = 747.509430000169m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.91236877-0.91225144) × R
    0.000117330000000027 × 6371000
    dr = 747.509430000169m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43584229--0.43565054) × cos(0.91236877) × R
    0.000191750000000046 × 0.611873876579493 × 6371000
    do = 747.489143679344m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43584229--0.43565054) × cos(0.91225144) × R
    0.000191750000000046 × 0.611966675158383 × 6371000
    du = 747.60251006566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.91236877)-sin(0.91225144))×
    abs(λ12)×abs(0.611873876579493-0.611966675158383)×
    abs(-0.43565054--0.43584229)×9.27985788894414e-05×
    0.000191750000000046×9.27985788894414e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.27985788894414e-05×40589641000000
    ar = 558797.555585308m²