Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14109 / 3485
↖ ↑ ↗
← N 80.362515°
W 24.993897°		 ← 204.52 m → N 80.362515°
W 24.982910°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
N 80.360675°
W 24.993897°		 ← 204.56 m →
41 843 m²		 N 80.360675°
W 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430587768554688 y=0.106369018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430587768554688 × 215)
    floor (0.430587768554688 × 32768)
    floor (14109.5)     		tx = 14109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106369018554688 × 215)
    floor (0.106369018554688 × 32768)
    floor (3485.5)     		ty = 3485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14109 / 3485 ti = "15/14109/3485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14109/3485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14109 ÷ 215
    14109 ÷ 32768     		x = 0.430572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3485 ÷ 215
    3485 ÷ 32768     		y = 0.106353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.13885498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43622579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106353759765625 × 2 - 1) × π
    0.78729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47335227279642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43622579} λ = -0.43622579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47335227279642))-π/2
    2×atan(11.8621454216556)-π/2
    2×1.48669340235124-π/2
    2.97338680470248-1.57079632675     		φ = 1.40259048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43622579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.993897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40259048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.362515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14109 KachelY 3485 -0.43622579 1.40259048 -24.993897 80.362515
    Oben rechts KachelX + 1 14110 KachelY 3485 -0.43603404 1.40259048 -24.982910 80.362515
    Unten links KachelX 14109 KachelY + 1 3486 -0.43622579 1.40255837 -24.993897 80.360675
    Unten rechts KachelX + 1 14110 KachelY + 1 3486 -0.43603404 1.40255837 -24.982910 80.360675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40259048-1.40255837) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40259048-1.40255837) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43622579--0.43603404) × cos(1.40259048) × R
    0.000191749999999991 × 0.167413787649517 × 6371000     		do = 204.519253983806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43622579--0.43603404) × cos(1.40255837) × R
    0.000191749999999991 × 0.167445444385769 × 6371000     		du = 204.557927095338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40259048)-sin(1.40255837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167413787649517-0.167445444385769)×R²
    abs(-0.43603404--0.43622579)×3.16567362518561e-05×R²
    0.000191749999999991×3.16567362518561e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.16567362518561e-05×40589641000000     		ar = 41843.0342243625m²