Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14108 / 21812
↖ ↑ ↗
← S 51.096623°
W 25.004883°		 ← 767.16 m → S 51.096623°
W 24.993897°		 →
↑
767.13 m
↓
↑
767.13 m
↓
S 51.103522°
W 25.004883°		 ← 767.05 m →
588 469 m²		 S 51.103522°
W 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430557250976562 y=0.665664672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430557250976562 × 215)
    floor (0.430557250976562 × 32768)
    floor (14108.5)     		tx = 14108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665664672851562 × 215)
    floor (0.665664672851562 × 32768)
    floor (21812.5)     		ty = 21812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14108 / 21812 ti = "15/14108/21812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14108/21812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14108 ÷ 215
    14108 ÷ 32768     		x = 0.4305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21812 ÷ 215
    21812 ÷ 32768     		y = 0.6656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6656494140625 × 2 - 1) × π
    -0.331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04080596455066
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43641753} λ = -0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04080596455066))-π/2
    2×atan(0.353169924782366)-π/2
    2×0.339496009886362-π/2
    0.678992019772725-1.57079632675     		φ = -0.89180431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89180431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.096623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14108 KachelY 21812 -0.43641753 -0.89180431 -25.004883 -51.096623
    Oben rechts KachelX + 1 14109 KachelY 21812 -0.43622579 -0.89180431 -24.993897 -51.096623
    Unten links KachelX 14108 KachelY + 1 21813 -0.43641753 -0.89192472 -25.004883 -51.103522
    Unten rechts KachelX + 1 14109 KachelY + 1 21813 -0.43622579 -0.89192472 -24.993897 -51.103522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89180431--0.89192472) × R
    0.00012040999999996 × 6371000     		dl = 767.132109999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89180431--0.89192472) × R
    0.00012040999999996 × 6371000     		dr = 767.132109999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43641753--0.43622579) × cos(-0.89180431) × R
    0.000191739999999996 × 0.628008924473639 × 6371000     		do = 767.160341038689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43641753--0.43622579) × cos(-0.89192472) × R
    0.000191739999999996 × 0.627915216120363 × 6371000     		du = 767.045869206432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89180431)-sin(-0.89192472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628008924473639-0.627915216120363)×R²
    abs(-0.43622579--0.43641753)×9.37083532764893e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37083532764893e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37083532764893e-05×40589641000000     		ar = 588469.424330711m²