Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14108 / 21758
↖ ↑ ↗
← S 50.722547°
W 25.004883°		 ← 773.35 m → S 50.722547°
W 24.993897°		 →
↑
773.31 m
↓
↑
773.31 m
↓
S 50.729502°
W 25.004883°		 ← 773.24 m →
597 997 m²		 S 50.729502°
W 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430557250976562 y=0.664016723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430557250976562 × 215)
    floor (0.430557250976562 × 32768)
    floor (14108.5)     		tx = 14108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664016723632812 × 215)
    floor (0.664016723632812 × 32768)
    floor (21758.5)     		ty = 21758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14108 / 21758 ti = "15/14108/21758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14108/21758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14108 ÷ 215
    14108 ÷ 32768     		x = 0.4305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21758 ÷ 215
    21758 ÷ 32768     		y = 0.66400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.3280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03045159423273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43641753} λ = -0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03045159423273))-π/2
    2×atan(0.356845774682759)-π/2
    2×0.342760439784817-π/2
    0.685520879569634-1.57079632675     		φ = -0.88527545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88527545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.722547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14108 KachelY 21758 -0.43641753 -0.88527545 -25.004883 -50.722547
    Oben rechts KachelX + 1 14109 KachelY 21758 -0.43622579 -0.88527545 -24.993897 -50.722547
    Unten links KachelX 14108 KachelY + 1 21759 -0.43641753 -0.88539683 -25.004883 -50.729502
    Unten rechts KachelX + 1 14109 KachelY + 1 21759 -0.43622579 -0.88539683 -24.993897 -50.729502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88527545--0.88539683) × R
    0.00012138000000006 × 6371000     		dl = 773.311980000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88527545--0.88539683) × R
    0.00012138000000006 × 6371000     		dr = 773.311980000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43641753--0.43622579) × cos(-0.88527545) × R
    0.000191739999999996 × 0.633076302583213 × 6371000     		do = 773.350526189275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43641753--0.43622579) × cos(-0.88539683) × R
    0.000191739999999996 × 0.632982338948803 × 6371000     		du = 773.235742511829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88527545)-sin(-0.88539683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633076302583213-0.632982338948803)×R²
    abs(-0.43622579--0.43641753)×9.39636344106098e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39636344106098e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39636344106098e-05×40589641000000     		ar = 597996.84558022m²