Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14108 / 18788
↖ ↑ ↗
← N 60.662415°
W102.502441°		 ← 299.26 m → N 60.662415°
W102.496948°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
N 60.659723°
W102.502441°		 ← 299.28 m →
89 575 m²		 N 60.659723°
W102.496948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215278625488281 y=0.286689758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215278625488281 × 216)
    floor (0.215278625488281 × 65536)
    floor (14108.5)     		tx = 14108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286689758300781 × 216)
    floor (0.286689758300781 × 65536)
    floor (18788.5)     		ty = 18788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14108 / 18788 ti = "16/14108/18788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14108/18788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14108 ÷ 216
    14108 ÷ 65536     		x = 0.21527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18788 ÷ 216
    18788 ÷ 65536     		y = 0.28668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.5694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78900509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28668212890625 × 2 - 1) × π
    0.4266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34031571337677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78900509} λ = -1.78900509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34031571337677))-π/2
    2×atan(3.82024941883894)-π/2
    2×1.3147775983209-π/2
    2.6295551966418-1.57079632675     		φ = 1.05875887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78900509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.502441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05875887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.662415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14108 KachelY 18788 -1.78900509 1.05875887 -102.502441 60.662415
    Oben rechts KachelX + 1 14109 KachelY 18788 -1.78890922 1.05875887 -102.496948 60.662415
    Unten links KachelX 14108 KachelY + 1 18789 -1.78900509 1.05871189 -102.502441 60.659723
    Unten rechts KachelX + 1 14109 KachelY + 1 18789 -1.78890922 1.05871189 -102.496948 60.659723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05875887-1.05871189) × R
    4.69799999998077e-05 × 6371000     		dl = 299.309579998775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05875887-1.05871189) × R
    4.69799999998077e-05 × 6371000     		dr = 299.309579998775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78900509--1.78890922) × cos(1.05875887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.489954411612235 × 6371000     		do = 299.258162470293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78900509--1.78890922) × cos(1.05871189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.489995365795234 × 6371000     		du = 299.283176784399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05875887)-sin(1.05871189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489954411612235-0.489995365795234)×R²
    abs(-1.78890922--1.78900509)×4.09541829992643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09541829992643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09541829992643e-05×40589641000000     		ar = 89574.5784486657m²