Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14108 / 10804
↖ ↑ ↗
← N 52.133488°
W 25.004883°		 ← 749.83 m → N 52.133488°
W 24.993897°		 →
↑
749.93 m
↓
↑
749.93 m
↓
N 52.126744°
W 25.004883°		 ← 749.95 m →
562 365 m²		 N 52.126744°
W 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430557250976562 y=0.329727172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430557250976562 × 215)
    floor (0.430557250976562 × 32768)
    floor (14108.5)     		tx = 14108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329727172851562 × 215)
    floor (0.329727172851562 × 32768)
    floor (10804.5)     		ty = 10804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14108 / 10804 ti = "15/14108/10804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14108/10804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14108 ÷ 215
    14108 ÷ 32768     		x = 0.4305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10804 ÷ 215
    10804 ÷ 32768     		y = 0.3297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3297119140625 × 2 - 1) × π
    0.340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06995159951965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43641753} λ = -0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06995159951965))-π/2
    2×atan(2.91523839762354)-π/2
    2×1.24034867181834-π/2
    2.48069734363668-1.57079632675     		φ = 0.90990102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90990102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.133488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14108 KachelY 10804 -0.43641753 0.90990102 -25.004883 52.133488
    Oben rechts KachelX + 1 14109 KachelY 10804 -0.43622579 0.90990102 -24.993897 52.133488
    Unten links KachelX 14108 KachelY + 1 10805 -0.43641753 0.90978331 -25.004883 52.126744
    Unten rechts KachelX + 1 14109 KachelY + 1 10805 -0.43622579 0.90978331 -24.993897 52.126744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90990102-0.90978331) × R
    0.000117709999999938 × 6371000     		dl = 749.930409999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90990102-0.90978331) × R
    0.000117709999999938 × 6371000     		dr = 749.930409999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43641753--0.43622579) × cos(0.90990102) × R
    0.000191739999999996 × 0.613823891562393 × 6371000     		do = 749.832251800215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43641753--0.43622579) × cos(0.90978331) × R
    0.000191739999999996 × 0.613916812643747 × 6371000     		du = 749.945761920347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90990102)-sin(0.90978331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613823891562393-0.613916812643747)×R²
    abs(-0.43622579--0.43641753)×9.29210813539472e-05×R²
    0.000191739999999996×9.29210813539472e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.29210813539472e-05×40589641000000     		ar = 562364.571018218m²