Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14108 / 10769
↖ ↑ ↗
← N 52.368892°
W 25.004883°		 ← 745.86 m → N 52.368892°
W 24.993897°		 →
↑
745.98 m
↓
↑
745.98 m
↓
N 52.362183°
W 25.004883°		 ← 745.98 m →
556 442 m²		 N 52.362183°
W 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430557250976562 y=0.328659057617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430557250976562 × 215)
    floor (0.430557250976562 × 32768)
    floor (14108.5)     		tx = 14108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328659057617188 × 215)
    floor (0.328659057617188 × 32768)
    floor (10769.5)     		ty = 10769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14108 / 10769 ti = "15/14108/10769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14108/10769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14108 ÷ 215
    14108 ÷ 32768     		x = 0.4305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10769 ÷ 215
    10769 ÷ 32768     		y = 0.328643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4305419921875 × 2 - 1) × π
    -0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328643798828125 × 2 - 1) × π
    0.34271240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07666276546646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43641753} λ = -0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07666276546646))-π/2
    2×atan(2.93486884419764)-π/2
    2×1.2424029563333-π/2
    2.4848059126666-1.57079632675     		φ = 0.91400959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91400959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.368892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14108 KachelY 10769 -0.43641753 0.91400959 -25.004883 52.368892
    Oben rechts KachelX + 1 14109 KachelY 10769 -0.43622579 0.91400959 -24.993897 52.368892
    Unten links KachelX 14108 KachelY + 1 10770 -0.43641753 0.91389250 -25.004883 52.362183
    Unten rechts KachelX + 1 14109 KachelY + 1 10770 -0.43622579 0.91389250 -24.993897 52.362183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91400959-0.91389250) × R
    0.000117090000000042 × 6371000     		dl = 745.980390000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91400959-0.91389250) × R
    0.000117090000000042 × 6371000     		dr = 745.980390000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43641753--0.43622579) × cos(0.91400959) × R
    0.000191739999999996 × 0.610575238140375 × 6371000     		do = 745.863776241941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43641753--0.43622579) × cos(0.91389250) × R
    0.000191739999999996 × 0.610667964346794 × 6371000     		du = 745.977048307619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91400959)-sin(0.91389250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610575238140375-0.610667964346794)×R²
    abs(-0.43622579--0.43641753)×9.27262064190915e-05×R²
    0.000191739999999996×9.27262064190915e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.27262064190915e-05×40589641000000     		ar = 556442.000693732m²