Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14107 / 21813
↖ ↑ ↗
← S 51.103522°
W 25.015869°		 ← 767.09 m → S 51.103522°
W 25.004883°		 →
↑
767 m
↓
↑
767 m
↓
S 51.110420°
W 25.015869°		 ← 766.97 m →
588 315 m²		 S 51.110420°
W 25.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430526733398438 y=0.665695190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430526733398438 × 215)
    floor (0.430526733398438 × 32768)
    floor (14107.5)     		tx = 14107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665695190429688 × 215)
    floor (0.665695190429688 × 32768)
    floor (21813.5)     		ty = 21813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14107 / 21813 ti = "15/14107/21813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14107/21813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14107 ÷ 215
    14107 ÷ 32768     		x = 0.430511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21813 ÷ 215
    21813 ÷ 32768     		y = 0.665679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.13897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43660928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.33135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04099771214914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43660928} λ = -0.43660928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04099771214914))-π/2
    2×atan(0.353102211789543)-π/2
    2×0.339435804776729-π/2
    0.678871609553459-1.57079632675     		φ = -0.89192472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43660928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.015869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89192472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.103522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14107 KachelY 21813 -0.43660928 -0.89192472 -25.015869 -51.103522
    Oben rechts KachelX + 1 14108 KachelY 21813 -0.43641753 -0.89192472 -25.004883 -51.103522
    Unten links KachelX 14107 KachelY + 1 21814 -0.43660928 -0.89204511 -25.015869 -51.110420
    Unten rechts KachelX + 1 14108 KachelY + 1 21814 -0.43641753 -0.89204511 -25.004883 -51.110420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89192472--0.89204511) × R
    0.00012038999999997 × 6371000     		dl = 767.00468999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89192472--0.89204511) × R
    0.00012038999999997 × 6371000     		dr = 767.00468999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43660928--0.43641753) × cos(-0.89192472) × R
    0.000191749999999991 × 0.627915216120363 × 6371000     		do = 767.08587368483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43660928--0.43641753) × cos(-0.89204511) × R
    0.000191749999999991 × 0.627821514230362 × 6371000     		du = 766.971403778206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89192472)-sin(-0.89204511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627915216120363-0.627821514230362)×R²
    abs(-0.43641753--0.43660928)×9.37018900011299e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37018900011299e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37018900011299e-05×40589641000000     		ar = 588314.56398202m²