Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14107 / 10779
N 52.301761°
W 25.015869°
← 747.04 m → N 52.301761°
W 25.004883°

747.06 m

747.06 m
N 52.295042°
W 25.015869°
← 747.15 m →
558 125 m²
N 52.295042°
W 25.004883°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430526733398438 y=0.328964233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430526733398438 × 215)
    floor (0.430526733398438 × 32768)
    floor (14107.5)
    tx = 14107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328964233398438 × 215)
    floor (0.328964233398438 × 32768)
    floor (10779.5)
    ty = 10779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14107 / 10779 ti = "15/14107/10779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14107/10779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14107 ÷ 215
    14107 ÷ 32768
    x = 0.430511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10779 ÷ 215
    10779 ÷ 32768
    y = 0.328948974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.430511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.13897705078125 × 3.1415926535
    Λ = -0.43660928
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.328948974609375 × 2 - 1) × π
    0.34210205078125 × 3.1415926535
    Φ = 1.07474528948166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43660928} λ = -0.43660928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07474528948166))-π/2
    2×atan(2.92924669556043)-π/2
    2×1.24181713009218-π/2
    2.48363426018436-1.57079632675
    φ = 0.91283793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43660928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.015869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91283793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.301761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14107 KachelY 10779 -0.43660928 0.91283793 -25.015869 52.301761
    Oben rechts KachelX + 1 14108 KachelY 10779 -0.43641753 0.91283793 -25.004883 52.301761
    Unten links KachelX 14107 KachelY + 1 10780 -0.43660928 0.91272067 -25.015869 52.295042
    Unten rechts KachelX + 1 14108 KachelY + 1 10780 -0.43641753 0.91272067 -25.004883 52.295042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.91283793-0.91272067) × R
    0.000117260000000008 × 6371000
    dl = 747.06346000005m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.91283793-0.91272067) × R
    0.000117260000000008 × 6371000
    dr = 747.06346000005m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43660928--0.43641753) × cos(0.91283793) × R
    0.000191749999999991 × 0.611502724642922 × 6371000
    do = 747.035729905699m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43660928--0.43641753) × cos(0.91272067) × R
    0.000191749999999991 × 0.611595501513751 × 6371000
    du = 747.149069772596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.91283793)-sin(0.91272067))×
    abs(λ12)×abs(0.611502724642922-0.611595501513751)×
    abs(-0.43641753--0.43660928)×9.27768708293142e-05×
    0.000191749999999991×9.27768708293142e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27768708293142e-05×40589641000000
    ar = 558125.433803675m²