Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14106 / 3478
↖ ↑ ↗
← N 80.375381°
W 25.026856°		 ← 204.25 m → N 80.375381°
W 25.015869°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
N 80.373544°
W 25.026856°		 ← 204.29 m →
41 723 m²		 N 80.373544°
W 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430496215820312 y=0.106155395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430496215820312 × 215)
    floor (0.430496215820312 × 32768)
    floor (14106.5)     		tx = 14106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106155395507812 × 215)
    floor (0.106155395507812 × 32768)
    floor (3478.5)     		ty = 3478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14106 / 3478 ti = "15/14106/3478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14106/3478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14106 ÷ 215
    14106 ÷ 32768     		x = 0.43048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3478 ÷ 215
    3478 ÷ 32768     		y = 0.10614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43048095703125 × 2 - 1) × π
    -0.1390380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43680103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10614013671875 × 2 - 1) × π
    0.7877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47469450598578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43680103} λ = -0.43680103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47469450598578))-π/2
    2×atan(11.8780778770808)-π/2
    2×1.48680568221696-π/2
    2.97361136443392-1.57079632675     		φ = 1.40281504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43680103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.026856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40281504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.375381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14106 KachelY 3478 -0.43680103 1.40281504 -25.026856 80.375381
    Oben rechts KachelX + 1 14107 KachelY 3478 -0.43660928 1.40281504 -25.015869 80.375381
    Unten links KachelX 14106 KachelY + 1 3479 -0.43680103 1.40278298 -25.026856 80.373544
    Unten rechts KachelX + 1 14107 KachelY + 1 3479 -0.43660928 1.40278298 -25.015869 80.373544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40281504-1.40278298) × R
    3.20599999998894e-05 × 6371000     		dl = 204.254259999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40281504-1.40278298) × R
    3.20599999998894e-05 × 6371000     		dr = 204.254259999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43680103--0.43660928) × cos(1.40281504) × R
    0.000191749999999991 × 0.167192392708541 × 6371000     		do = 204.248789234158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43680103--0.43660928) × cos(1.40278298) × R
    0.000191749999999991 × 0.16722400135532 × 6371000     		du = 204.287403597702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40281504)-sin(1.40278298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167192392708541-0.16722400135532)×R²
    abs(-0.43660928--0.43680103)×3.16086467789245e-05×R²
    0.000191749999999991×3.16086467789245e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.16086467789245e-05×40589641000000     		ar = 41722.6288784797m²