Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14106 / 18282
↖ ↑ ↗
← N 78.146911°
W141.256714°		 ← 62.74 m → N 78.146911°
W141.253967°		 →
↑
62.75 m
↓
↑
62.75 m
↓
N 78.146347°
W141.256714°		 ← 62.74 m →
3 937 m²		 N 78.146347°
W141.253967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107624053955078 y=0.139484405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107624053955078 × 217)
    floor (0.107624053955078 × 131072)
    floor (14106.5)     		tx = 14106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139484405517578 × 217)
    floor (0.139484405517578 × 131072)
    floor (18282.5)     		ty = 18282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14106 / 18282 ti = "17/14106/18282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14106/18282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14106 ÷ 217
    14106 ÷ 131072     		x = 0.107620239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18282 ÷ 217
    18282 ÷ 131072     		y = 0.139480590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107620239257812 × 2 - 1) × π
    -0.784759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.46539475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139480590820312 × 2 - 1) × π
    0.721038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26521025464613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46539475} λ = -2.46539475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26521025464613))-π/2
    2×atan(9.63314980270172)-π/2
    2×1.46735861220569-π/2
    2.93471722441138-1.57079632675     		φ = 1.36392090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46539475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.256714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36392090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.146911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14106 KachelY 18282 -2.46539475 1.36392090 -141.256714 78.146911
    Oben rechts KachelX + 1 14107 KachelY 18282 -2.46534681 1.36392090 -141.253967 78.146911
    Unten links KachelX 14106 KachelY + 1 18283 -2.46539475 1.36391105 -141.256714 78.146347
    Unten rechts KachelX + 1 14107 KachelY + 1 18283 -2.46534681 1.36391105 -141.253967 78.146347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36392090-1.36391105) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dl = 62.7543500005667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36392090-1.36391105) × R
    9.85000000008895e-06 × 6371000     		dr = 62.7543500005667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46539475--2.46534681) × cos(1.36392090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205402958036906 × 6371000     		do = 62.7353504565698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46539475--2.46534681) × cos(1.36391105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205412598000195 × 6371000     		du = 62.7382947494909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36392090)-sin(1.36391105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205402958036906-0.205412598000195)×R²
    abs(-2.46534681--2.46539475)×9.63996328889882e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63996328889882e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63996328889882e-06×40589641000000     		ar = 3937.00852349603m²