Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14103 / 7463
↖ ↑ ↗
← N 69.507612°
W 25.059814°		 ← 427.68 m → N 69.507612°
W 25.048828°		 →
↑
427.69 m
↓
↑
427.69 m
↓
N 69.503765°
W 25.059814°		 ← 427.75 m →
182 927 m²		 N 69.503765°
W 25.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430404663085938 y=0.227767944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430404663085938 × 215)
    floor (0.430404663085938 × 32768)
    floor (14103.5)     		tx = 14103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227767944335938 × 215)
    floor (0.227767944335938 × 32768)
    floor (7463.5)     		ty = 7463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14103 / 7463 ti = "15/14103/7463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14103/7463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14103 ÷ 215
    14103 ÷ 32768     		x = 0.430389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7463 ÷ 215
    7463 ÷ 32768     		y = 0.227752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.13922119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43737627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227752685546875 × 2 - 1) × π
    0.54449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71058032604208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43737627} λ = -0.43737627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71058032604208))-π/2
    2×atan(5.53217100915244)-π/2
    2×1.3919665027835-π/2
    2.78393300556701-1.57079632675     		φ = 1.21313668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43737627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.059814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21313668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.507612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14103 KachelY 7463 -0.43737627 1.21313668 -25.059814 69.507612
    Oben rechts KachelX + 1 14104 KachelY 7463 -0.43718452 1.21313668 -25.048828 69.507612
    Unten links KachelX 14103 KachelY + 1 7464 -0.43737627 1.21306955 -25.059814 69.503765
    Unten rechts KachelX + 1 14104 KachelY + 1 7464 -0.43718452 1.21306955 -25.048828 69.503765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21313668-1.21306955) × R
    6.71300000001374e-05 × 6371000     		dl = 427.685230000875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21313668-1.21306955) × R
    6.71300000001374e-05 × 6371000     		dr = 427.685230000875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43737627--0.43718452) × cos(1.21313668) × R
    0.000191749999999991 × 0.350082941396514 × 6371000     		do = 427.675061965411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43737627--0.43718452) × cos(1.21306955) × R
    0.000191749999999991 × 0.350145822534387 × 6371000     		du = 427.75188003152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21313668)-sin(1.21306955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350082941396514-0.350145822534387)×R²
    abs(-0.43718452--0.43737627)×6.28811378723393e-05×R²
    0.000191749999999991×6.28811378723393e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.28811378723393e-05×40589641000000     		ar = 182926.734287176m²