Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14101 / 10765
↖ ↑ ↗
← N 52.395716°
W 25.081787°		 ← 745.45 m → N 52.395716°
W 25.070801°		 →
↑
745.53 m
↓
↑
745.53 m
↓
N 52.389011°
W 25.081787°		 ← 745.56 m →
555 801 m²		 N 52.389011°
W 25.070801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430343627929688 y=0.328536987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430343627929688 × 215)
    floor (0.430343627929688 × 32768)
    floor (14101.5)     		tx = 14101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328536987304688 × 215)
    floor (0.328536987304688 × 32768)
    floor (10765.5)     		ty = 10765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14101 / 10765 ti = "15/14101/10765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14101/10765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14101 ÷ 215
    14101 ÷ 32768     		x = 0.430328369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10765 ÷ 215
    10765 ÷ 32768     		y = 0.328521728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.13934326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43775977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328521728515625 × 2 - 1) × π
    0.34295654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07742975586038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43775977} λ = -0.43775977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07742975586038))-π/2
    2×atan(2.93712072388321)-π/2
    2×1.24263703789659-π/2
    2.48527407579318-1.57079632675     		φ = 0.91447775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43775977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.081787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91447775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.395716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14101 KachelY 10765 -0.43775977 0.91447775 -25.081787 52.395716
    Oben rechts KachelX + 1 14102 KachelY 10765 -0.43756802 0.91447775 -25.070801 52.395716
    Unten links KachelX 14101 KachelY + 1 10766 -0.43775977 0.91436073 -25.081787 52.389011
    Unten rechts KachelX + 1 14102 KachelY + 1 10766 -0.43756802 0.91436073 -25.070801 52.389011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91447775-0.91436073) × R
    0.000117020000000023 × 6371000     		dl = 745.534420000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91447775-0.91436073) × R
    0.000117020000000023 × 6371000     		dr = 745.534420000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43775977--0.43756802) × cos(0.91447775) × R
    0.000191749999999991 × 0.610204408065948 × 6371000     		do = 745.449655416341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43775977--0.43756802) × cos(0.91436073) × R
    0.000191749999999991 × 0.610297112282479 × 6371000     		du = 745.562906525896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91447775)-sin(0.91436073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610204408065948-0.610297112282479)×R²
    abs(-0.43756802--0.43775977)×9.27042165309588e-05×R²
    0.000191749999999991×9.27042165309588e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.27042165309588e-05×40589641000000     		ar = 555800.593424697m²