Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 141 / 407
↖ ↑ ↗
← S 72.181803°
W 80.859375°		 ← 23.924 km → S 72.181803°
W 80.156250°		 →
↑
23.785 km
↓
↑
23.785 km
↓
S 72.395706°
W 80.859375°		 ← 23.646 km →
565.725 km²		 S 72.395706°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2763671875 y=0.7958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2763671875 × 29)
    floor (0.2763671875 × 512)
    floor (141.5)     		tx = 141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7958984375 × 29)
    floor (0.7958984375 × 512)
    floor (407.5)     		ty = 407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 141 / 407 ti = "9/141/407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/141/407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 141 ÷ 29
    141 ÷ 512     		x = 0.275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 407 ÷ 29
    407 ÷ 512     		y = 0.794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.275390625 × 2 - 1) × π
    -0.44921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41126232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.794921875 × 2 - 1) × π
    -0.58984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85304879171289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41126232} λ = -1.41126232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85304879171289))-π/2
    2×atan(0.156758512971945)-π/2
    2×0.155493097363407-π/2
    0.310986194726815-1.57079632675     		φ = -1.25981013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41126232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.859375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25981013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.181803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 141 KachelY 407 -1.41126232 -1.25981013 -80.859375 -72.181803
    Oben rechts KachelX + 1 142 KachelY 407 -1.39899048 -1.25981013 -80.156250 -72.181803
    Unten links KachelX 141 KachelY + 1 408 -1.41126232 -1.26354343 -80.859375 -72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 142 KachelY + 1 408 -1.39899048 -1.26354343 -80.156250 -72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25981013--1.26354343) × R
    0.00373329999999994 × 6371000     		dl = 23784.8542999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25981013--1.26354343) × R
    0.00373329999999994 × 6371000     		dr = 23784.8542999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41126232--1.39899048) × cos(-1.25981013) × R
    0.0122718400000001 × 0.305997676257917 × 6371000     		do = 23924.0894686387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41126232--1.39899048) × cos(-1.26354343) × R
    0.0122718400000001 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 23646.0404791864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25981013)-sin(-1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305997676257917-0.302441330058417)×R²
    abs(-1.39899048--1.41126232)×0.00355634619949979×R²
    0.0122718400000001×0.00355634619949979×6371000²
    0.0122718400000001×0.00355634619949979×40589641000000     		ar = 565724961.988019m²