Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14097 / 7406
↖ ↑ ↗
← N 69.725722°
W 25.125733°		 ← 423.32 m → N 69.725722°
W 25.114746°		 →
↑
423.35 m
↓
↑
423.35 m
↓
N 69.721915°
W 25.125733°		 ← 423.39 m →
179 228 m²		 N 69.721915°
W 25.114746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430221557617188 y=0.226028442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430221557617188 × 215)
    floor (0.430221557617188 × 32768)
    floor (14097.5)     		tx = 14097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226028442382812 × 215)
    floor (0.226028442382812 × 32768)
    floor (7406.5)     		ty = 7406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14097 / 7406 ti = "15/14097/7406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14097/7406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14097 ÷ 215
    14097 ÷ 32768     		x = 0.430206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7406 ÷ 215
    7406 ÷ 32768     		y = 0.22601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430206298828125 × 2 - 1) × π
    -0.13958740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43852676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22601318359375 × 2 - 1) × π
    0.5479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72150993915546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43852676} λ = -0.43852676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72150993915546))-π/2
    2×atan(5.592967131803)-π/2
    2×1.39386987375519-π/2
    2.78773974751038-1.57079632675     		φ = 1.21694342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43852676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.125733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21694342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.725722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14097 KachelY 7406 -0.43852676 1.21694342 -25.125733 69.725722
    Oben rechts KachelX + 1 14098 KachelY 7406 -0.43833501 1.21694342 -25.114746 69.725722
    Unten links KachelX 14097 KachelY + 1 7407 -0.43852676 1.21687697 -25.125733 69.721915
    Unten rechts KachelX + 1 14098 KachelY + 1 7407 -0.43833501 1.21687697 -25.114746 69.721915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21694342-1.21687697) × R
    6.64500000000512e-05 × 6371000     		dl = 423.352950000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21694342-1.21687697) × R
    6.64500000000512e-05 × 6371000     		dr = 423.352950000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43852676--0.43833501) × cos(1.21694342) × R
    0.000191749999999991 × 0.346514568871904 × 6371000     		do = 423.315798030726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43852676--0.43833501) × cos(1.21687697) × R
    0.000191749999999991 × 0.346576901169855 × 6371000     		du = 423.391945612444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21694342)-sin(1.21687697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346514568871904-0.346576901169855)×R²
    abs(-0.43833501--0.43852676)×6.23322979502738e-05×R²
    0.000191749999999991×6.23322979502738e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.23322979502738e-05×40589641000000     		ar = 179228.110596209m²