Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14096 / 21735
↖ ↑ ↗
← S 50.562304°
W 25.136719°		 ← 776.03 m → S 50.562304°
W 25.125733°		 →
↑
775.99 m
↓
↑
775.99 m
↓
S 50.569283°
W 25.136719°		 ← 775.92 m →
602 147 m²		 S 50.569283°
W 25.125733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430191040039062 y=0.663314819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430191040039062 × 215)
    floor (0.430191040039062 × 32768)
    floor (14096.5)     		tx = 14096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663314819335938 × 215)
    floor (0.663314819335938 × 32768)
    floor (21735.5)     		ty = 21735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14096 / 21735 ti = "15/14096/21735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14096/21735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14096 ÷ 215
    14096 ÷ 32768     		x = 0.43017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21735 ÷ 215
    21735 ÷ 32768     		y = 0.663299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    -0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663299560546875 × 2 - 1) × π
    -0.32659912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02604139946768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43871851} λ = -0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02604139946768))-π/2
    2×atan(0.35842300945004)-π/2
    2×0.344158818462858-π/2
    0.688317636925716-1.57079632675     		φ = -0.88247869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88247869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.562304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14096 KachelY 21735 -0.43871851 -0.88247869 -25.136719 -50.562304
    Oben rechts KachelX + 1 14097 KachelY 21735 -0.43852676 -0.88247869 -25.125733 -50.562304
    Unten links KachelX 14096 KachelY + 1 21736 -0.43871851 -0.88260049 -25.136719 -50.569283
    Unten rechts KachelX + 1 14097 KachelY + 1 21736 -0.43852676 -0.88260049 -25.125733 -50.569283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88247869--0.88260049) × R
    0.00012179999999995 × 6371000     		dl = 775.98779999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88247869--0.88260049) × R
    0.00012179999999995 × 6371000     		dr = 775.98779999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43871851--0.43852676) × cos(-0.88247869) × R
    0.000191749999999991 × 0.635238766106317 × 6371000     		do = 776.032609797008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43871851--0.43852676) × cos(-0.88260049) × R
    0.000191749999999991 × 0.635144693328959 × 6371000     		du = 775.917686799831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88247869)-sin(-0.88260049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635238766106317-0.635144693328959)×R²
    abs(-0.43852676--0.43871851)×9.40727773582894e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40727773582894e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40727773582894e-05×40589641000000     		ar = 602147.248926925m²