Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14095 / 21840
↖ ↑ ↗
← S 51.289406°
W 25.147705°		 ← 763.96 m → S 51.289406°
W 25.136719°		 →
↑
763.95 m
↓
↑
763.95 m
↓
S 51.296276°
W 25.147705°		 ← 763.84 m →
583 579 m²		 S 51.296276°
W 25.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430160522460938 y=0.666519165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430160522460938 × 215)
    floor (0.430160522460938 × 32768)
    floor (14095.5)     		tx = 14095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666519165039062 × 215)
    floor (0.666519165039062 × 32768)
    floor (21840.5)     		ty = 21840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14095 / 21840 ti = "15/14095/21840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14095/21840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14095 ÷ 215
    14095 ÷ 32768     		x = 0.430145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21840 ÷ 215
    21840 ÷ 32768     		y = 0.66650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.13970947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43891025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66650390625 × 2 - 1) × π
    -0.3330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04617489730811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43891025} λ = -0.43891025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04617489730811))-π/2
    2×atan(0.351278860245987)-π/2
    2×0.337813661209687-π/2
    0.675627322419374-1.57079632675     		φ = -0.89516900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43891025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.147705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89516900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.289406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14095 KachelY 21840 -0.43891025 -0.89516900 -25.147705 -51.289406
    Oben rechts KachelX + 1 14096 KachelY 21840 -0.43871851 -0.89516900 -25.136719 -51.289406
    Unten links KachelX 14095 KachelY + 1 21841 -0.43891025 -0.89528891 -25.147705 -51.296276
    Unten rechts KachelX + 1 14096 KachelY + 1 21841 -0.43871851 -0.89528891 -25.136719 -51.296276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89516900--0.89528891) × R
    0.000119910000000001 × 6371000     		dl = 763.946610000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89516900--0.89528891) × R
    0.000119910000000001 × 6371000     		dr = 763.946610000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43891025--0.43871851) × cos(-0.89516900) × R
    0.000191739999999996 × 0.625386952124284 × 6371000     		do = 763.95740375016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43891025--0.43871851) × cos(-0.89528891) × R
    0.000191739999999996 × 0.62529338008288 × 6371000     		du = 763.843098433152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89516900)-sin(-0.89528891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625386952124284-0.62529338008288)×R²
    abs(-0.43871851--0.43891025)×9.35720414046992e-05×R²
    0.000191739999999996×9.35720414046992e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.35720414046992e-05×40589641000000     		ar = 583579.007899061m²