Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14095 / 21743
↖ ↑ ↗
← S 50.618103°
W 25.147705°		 ← 775.07 m → S 50.618103°
W 25.136719°		 →
↑
775.03 m
↓
↑
775.03 m
↓
S 50.625073°
W 25.147705°		 ← 774.96 m →
600 662 m²		 S 50.625073°
W 25.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430160522460938 y=0.663558959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430160522460938 × 215)
    floor (0.430160522460938 × 32768)
    floor (14095.5)     		tx = 14095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663558959960938 × 215)
    floor (0.663558959960938 × 32768)
    floor (21743.5)     		ty = 21743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14095 / 21743 ti = "15/14095/21743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14095/21743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14095 ÷ 215
    14095 ÷ 32768     		x = 0.430145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21743 ÷ 215
    21743 ÷ 32768     		y = 0.663543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430145263671875 × 2 - 1) × π
    -0.13970947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43891025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663543701171875 × 2 - 1) × π
    -0.32708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02757538025552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43891025} λ = -0.43891025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02757538025552))-π/2
    2×atan(0.357873616926143)-π/2
    2×0.343671885004644-π/2
    0.687343770009288-1.57079632675     		φ = -0.88345256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43891025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.147705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88345256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.618103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14095 KachelY 21743 -0.43891025 -0.88345256 -25.147705 -50.618103
    Oben rechts KachelX + 1 14096 KachelY 21743 -0.43871851 -0.88345256 -25.136719 -50.618103
    Unten links KachelX 14095 KachelY + 1 21744 -0.43891025 -0.88357421 -25.147705 -50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 14096 KachelY + 1 21744 -0.43871851 -0.88357421 -25.136719 -50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88345256--0.88357421) × R
    0.000121649999999973 × 6371000     		dl = 775.032149999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88345256--0.88357421) × R
    0.000121649999999973 × 6371000     		dr = 775.032149999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43891025--0.43871851) × cos(-0.88345256) × R
    0.000191739999999996 × 0.634486329790104 × 6371000     		do = 775.072980935947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43891025--0.43871851) × cos(-0.88357421) × R
    0.000191739999999996 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 774.958113591084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88345256)-sin(-0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634486329790104-0.634392297664295)×R²
    abs(-0.43871851--0.43891025)×9.40321258094956e-05×R²
    0.000191739999999996×9.40321258094956e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.40321258094956e-05×40589641000000     		ar = 600661.96661992m²