Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14092 / 21748
↖ ↑ ↗
← S 50.652944°
W 25.180664°		 ← 774.54 m → S 50.652944°
W 25.169678°		 →
↑
774.46 m
↓
↑
774.46 m
↓
S 50.659908°
W 25.180664°		 ← 774.42 m →
599 804 m²		 S 50.659908°
W 25.169678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430068969726562 y=0.663711547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430068969726562 × 215)
    floor (0.430068969726562 × 32768)
    floor (14092.5)     		tx = 14092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663711547851562 × 215)
    floor (0.663711547851562 × 32768)
    floor (21748.5)     		ty = 21748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14092 / 21748 ti = "15/14092/21748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14092/21748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14092 ÷ 215
    14092 ÷ 32768     		x = 0.4300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21748 ÷ 215
    21748 ÷ 32768     		y = 0.6636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02853411824792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43948550} λ = -0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02853411824792))-π/2
    2×atan(0.357530674315441)-π/2
    2×0.343367844614338-π/2
    0.686735689228676-1.57079632675     		φ = -0.88406064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88406064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.652944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14092 KachelY 21748 -0.43948550 -0.88406064 -25.180664 -50.652944
    Oben rechts KachelX + 1 14093 KachelY 21748 -0.43929375 -0.88406064 -25.169678 -50.652944
    Unten links KachelX 14092 KachelY + 1 21749 -0.43948550 -0.88418220 -25.180664 -50.659908
    Unten rechts KachelX + 1 14093 KachelY + 1 21749 -0.43929375 -0.88418220 -25.169678 -50.659908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88406064--0.88418220) × R
    0.000121560000000076 × 6371000     		dl = 774.458760000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88406064--0.88418220) × R
    0.000121560000000076 × 6371000     		dr = 774.458760000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43948550--0.43929375) × cos(-0.88406064) × R
    0.000191749999999991 × 0.634016206757387 × 6371000     		do = 774.539083310901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43948550--0.43929375) × cos(-0.88418220) × R
    0.000191749999999991 × 0.633922197323346 × 6371000     		du = 774.424237696406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88406064)-sin(-0.88418220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634016206757387-0.633922197323346)×R²
    abs(-0.43929375--0.43948550)×9.40094340414754e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40094340414754e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40094340414754e-05×40589641000000     		ar = 599804.107174962m²