Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14091 / 3482
↖ ↑ ↗
← N 80.368031°
W 25.191650°		 ← 204.39 m → N 80.368031°
W 25.180664°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
N 80.366193°
W 25.191650°		 ← 204.43 m →
41 778 m²		 N 80.366193°
W 25.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430038452148438 y=0.106277465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430038452148438 × 215)
    floor (0.430038452148438 × 32768)
    floor (14091.5)     		tx = 14091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106277465820312 × 215)
    floor (0.106277465820312 × 32768)
    floor (3482.5)     		ty = 3482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14091 / 3482 ti = "15/14091/3482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14091/3482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14091 ÷ 215
    14091 ÷ 32768     		x = 0.430023193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3482 ÷ 215
    3482 ÷ 32768     		y = 0.10626220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.13995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43967724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10626220703125 × 2 - 1) × π
    0.7874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47392751559186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43967724} λ = -0.43967724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47392751559186))-π/2
    2×atan(11.8689709983415)-π/2
    2×1.48674154048792-π/2
    2.97348308097583-1.57079632675     		φ = 1.40268675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43967724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40268675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.368031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14091 KachelY 3482 -0.43967724 1.40268675 -25.191650 80.368031
    Oben rechts KachelX + 1 14092 KachelY 3482 -0.43948550 1.40268675 -25.180664 80.368031
    Unten links KachelX 14091 KachelY + 1 3483 -0.43967724 1.40265467 -25.191650 80.366193
    Unten rechts KachelX + 1 14092 KachelY + 1 3483 -0.43948550 1.40265467 -25.180664 80.366193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40268675-1.40265467) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40268675-1.40265467) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43967724--0.43948550) × cos(1.40268675) × R
    0.000191740000000051 × 0.167318875559389 × 6371000     		do = 204.392645763708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43967724--0.43948550) × cos(1.40265467) × R
    0.000191740000000051 × 0.167350503236133 × 6371000     		du = 204.431281360006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40268675)-sin(1.40265467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167318875559389-0.167350503236133)×R²
    abs(-0.43948550--0.43967724)×3.16276767446944e-05×R²
    0.000191740000000051×3.16276767446944e-05×6371000²
    0.000191740000000051×3.16276767446944e-05×40589641000000     		ar = 41778.0605287443m²