Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14091 / 21723
↖ ↑ ↗
← S 50.478482°
W 25.191650°		 ← 777.37 m → S 50.478482°
W 25.180664°		 →
↑
777.39 m
↓
↑
777.39 m
↓
S 50.485474°
W 25.191650°		 ← 777.26 m →
604 276 m²		 S 50.485474°
W 25.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430038452148438 y=0.662948608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430038452148438 × 215)
    floor (0.430038452148438 × 32768)
    floor (14091.5)     		tx = 14091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662948608398438 × 215)
    floor (0.662948608398438 × 32768)
    floor (21723.5)     		ty = 21723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14091 / 21723 ti = "15/14091/21723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14091/21723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14091 ÷ 215
    14091 ÷ 32768     		x = 0.430023193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21723 ÷ 215
    21723 ÷ 32768     		y = 0.662933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.13995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43967724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662933349609375 × 2 - 1) × π
    -0.32586669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02374042828592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43967724} λ = -0.43967724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02374042828592))-π/2
    2×atan(0.359248680023472)-π/2
    2×0.344890301007257-π/2
    0.689780602014515-1.57079632675     		φ = -0.88101572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43967724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.191650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88101572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.478482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14091 KachelY 21723 -0.43967724 -0.88101572 -25.191650 -50.478482
    Oben rechts KachelX + 1 14092 KachelY 21723 -0.43948550 -0.88101572 -25.180664 -50.478482
    Unten links KachelX 14091 KachelY + 1 21724 -0.43967724 -0.88113774 -25.191650 -50.485474
    Unten rechts KachelX + 1 14092 KachelY + 1 21724 -0.43948550 -0.88113774 -25.180664 -50.485474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88101572--0.88113774) × R
    0.000122020000000056 × 6371000     		dl = 777.389420000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88101572--0.88113774) × R
    0.000122020000000056 × 6371000     		dr = 777.389420000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43967724--0.43948550) × cos(-0.88101572) × R
    0.000191740000000051 × 0.63636796076883 × 6371000     		do = 777.37153531509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43967724--0.43948550) × cos(-0.88113774) × R
    0.000191740000000051 × 0.636273831554846 × 6371000     		du = 777.256549369688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88101572)-sin(-0.88113774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63636796076883-0.636273831554846)×R²
    abs(-0.43948550--0.43967724)×9.41292139834404e-05×R²
    0.000191740000000051×9.41292139834404e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.41292139834404e-05×40589641000000     		ar = 604275.713283875m²