Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14089 / 22273
↖ ↑ ↗
← S 54.168866°
W 25.213623°		 ← 715.15 m → S 54.168866°
W 25.202637°		 →
↑
715.08 m
↓
↑
715.08 m
↓
S 54.175297°
W 25.213623°		 ← 715.03 m →
511 347 m²		 S 54.175297°
W 25.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429977416992188 y=0.679733276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429977416992188 × 215)
    floor (0.429977416992188 × 32768)
    floor (14089.5)     		tx = 14089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679733276367188 × 215)
    floor (0.679733276367188 × 32768)
    floor (22273.5)     		ty = 22273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14089 / 22273 ti = "15/14089/22273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14089/22273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14089 ÷ 215
    14089 ÷ 32768     		x = 0.429962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22273 ÷ 215
    22273 ÷ 32768     		y = 0.679718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429962158203125 × 2 - 1) × π
    -0.14007568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44006074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.35943603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12920160745004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44006074} λ = -0.44006074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12920160745004))-π/2
    2×atan(0.323291266750626)-π/2
    2×0.312685632865312-π/2
    0.625371265730624-1.57079632675     		φ = -0.94542506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44006074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94542506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.168866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14089 KachelY 22273 -0.44006074 -0.94542506 -25.213623 -54.168866
    Oben rechts KachelX + 1 14090 KachelY 22273 -0.43986899 -0.94542506 -25.202637 -54.168866
    Unten links KachelX 14089 KachelY + 1 22274 -0.44006074 -0.94553730 -25.213623 -54.175297
    Unten rechts KachelX + 1 14090 KachelY + 1 22274 -0.43986899 -0.94553730 -25.202637 -54.175297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94542506--0.94553730) × R
    0.000112239999999986 × 6371000     		dl = 715.081039999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94542506--0.94553730) × R
    0.000112239999999986 × 6371000     		dr = 715.081039999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44006074--0.43986899) × cos(-0.94542506) × R
    0.000191749999999991 × 0.585398316287083 × 6371000     		do = 715.145560060179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44006074--0.43986899) × cos(-0.94553730) × R
    0.000191749999999991 × 0.585307314487222 × 6371000     		du = 715.034388689649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94542506)-sin(-0.94553730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585398316287083-0.585307314487222)×R²
    abs(-0.43986899--0.44006074)×9.10017998603241e-05×R²
    0.000191749999999991×9.10017998603241e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.10017998603241e-05×40589641000000     		ar = 511347.283106222m²