Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14088 / 21803
↖ ↑ ↗
← S 51.034486°
W 25.224610°		 ← 768.23 m → S 51.034486°
W 25.213623°		 →
↑
768.15 m
↓
↑
768.15 m
↓
S 51.041394°
W 25.224610°		 ← 768.12 m →
590 074 m²		 S 51.041394°
W 25.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429946899414062 y=0.665390014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429946899414062 × 215)
    floor (0.429946899414062 × 32768)
    floor (14088.5)     		tx = 14088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665390014648438 × 215)
    floor (0.665390014648438 × 32768)
    floor (21803.5)     		ty = 21803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14088 / 21803 ti = "15/14088/21803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14088/21803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14088 ÷ 215
    14088 ÷ 32768     		x = 0.429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21803 ÷ 215
    21803 ÷ 32768     		y = 0.665374755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    -0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.33074951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03908023616434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44025249} λ = -0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03908023616434))-π/2
    2×atan(0.353779926343874)-π/2
    2×0.340038260228216-π/2
    0.680076520456432-1.57079632675     		φ = -0.89071981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89071981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.034486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14088 KachelY 21803 -0.44025249 -0.89071981 -25.224610 -51.034486
    Oben rechts KachelX + 1 14089 KachelY 21803 -0.44006074 -0.89071981 -25.213623 -51.034486
    Unten links KachelX 14088 KachelY + 1 21804 -0.44025249 -0.89084038 -25.224610 -51.041394
    Unten rechts KachelX + 1 14089 KachelY + 1 21804 -0.44006074 -0.89084038 -25.213623 -51.041394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89071981--0.89084038) × R
    0.000120569999999987 × 6371000     		dl = 768.151469999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89071981--0.89084038) × R
    0.000120569999999987 × 6371000     		dr = 768.151469999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44025249--0.44006074) × cos(-0.89071981) × R
    0.000191749999999991 × 0.628852519549913 × 6371000     		do = 768.230920343529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44025249--0.44006074) × cos(-0.89084038) × R
    0.000191749999999991 × 0.628758768837873 × 6371000     		du = 768.116390793985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89071981)-sin(-0.89084038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628852519549913-0.628758768837873)×R²
    abs(-0.44006074--0.44025249)×9.37507120403192e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37507120403192e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37507120403192e-05×40589641000000     		ar = 590073.723454861m²