Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14087 / 21799
↖ ↑ ↗
← S 51.006842°
W 25.235595°		 ← 768.65 m → S 51.006842°
W 25.224610°		 →
↑
768.60 m
↓
↑
768.60 m
↓
S 51.013755°
W 25.235595°		 ← 768.53 m →
590 738 m²		 S 51.013755°
W 25.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429916381835938 y=0.665267944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429916381835938 × 215)
    floor (0.429916381835938 × 32768)
    floor (14087.5)     		tx = 14087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665267944335938 × 215)
    floor (0.665267944335938 × 32768)
    floor (21799.5)     		ty = 21799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14087 / 21799 ti = "15/14087/21799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14087/21799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14087 ÷ 215
    14087 ÷ 32768     		x = 0.429901123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21799 ÷ 215
    21799 ÷ 32768     		y = 0.665252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.14019775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44044423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.33050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03831324577042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44044423} λ = -0.44044423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03831324577042))-π/2
    2×atan(0.354051376235364)-π/2
    2×0.340279494064017-π/2
    0.680558988128034-1.57079632675     		φ = -0.89023734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44044423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.235595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89023734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.006842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14087 KachelY 21799 -0.44044423 -0.89023734 -25.235595 -51.006842
    Oben rechts KachelX + 1 14088 KachelY 21799 -0.44025249 -0.89023734 -25.224610 -51.006842
    Unten links KachelX 14087 KachelY + 1 21800 -0.44044423 -0.89035798 -25.235595 -51.013755
    Unten rechts KachelX + 1 14088 KachelY + 1 21800 -0.44025249 -0.89035798 -25.224610 -51.013755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89023734--0.89035798) × R
    0.000120640000000005 × 6371000     		dl = 768.597440000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89023734--0.89035798) × R
    0.000120640000000005 × 6371000     		dr = 768.597440000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44044423--0.44025249) × cos(-0.89023734) × R
    0.000191739999999996 × 0.629227578639394 × 6371000     		do = 768.649019159293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44044423--0.44025249) × cos(-0.89035798) × R
    0.000191739999999996 × 0.629133810105984 × 6371000     		du = 768.534473812458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89023734)-sin(-0.89035798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629227578639394-0.629133810105984)×R²
    abs(-0.44025249--0.44044423)×9.37685334100324e-05×R²
    0.000191739999999996×9.37685334100324e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.37685334100324e-05×40589641000000     		ar = 590737.649471108m²