Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14087 / 18295
↖ ↑ ↗
← N 78.139575°
W141.308899°		 ← 62.77 m → N 78.139575°
W141.306152°		 →
↑
62.82 m
↓
↑
62.82 m
↓
N 78.139010°
W141.308899°		 ← 62.78 m →
3 943 m²		 N 78.139010°
W141.306152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107479095458984 y=0.139583587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107479095458984 × 217)
    floor (0.107479095458984 × 131072)
    floor (14087.5)     		tx = 14087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139583587646484 × 217)
    floor (0.139583587646484 × 131072)
    floor (18295.5)     		ty = 18295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14087 / 18295 ti = "17/14087/18295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14087/18295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14087 ÷ 217
    14087 ÷ 131072     		x = 0.107475280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18295 ÷ 217
    18295 ÷ 131072     		y = 0.139579772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107475280761719 × 2 - 1) × π
    -0.785049438476562 × 3.1415926535     		Λ = -2.46630555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139579772949219 × 2 - 1) × π
    0.720840454101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26458707495107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46630555} λ = -2.46630555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26458707495107))-π/2
    2×atan(9.62714848948768)-π/2
    2×1.4672945912078-π/2
    2.9345891824156-1.57079632675     		φ = 1.36379286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46630555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.308899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36379286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.139575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14087 KachelY 18295 -2.46630555 1.36379286 -141.308899 78.139575
    Oben rechts KachelX + 1 14088 KachelY 18295 -2.46625761 1.36379286 -141.306152 78.139575
    Unten links KachelX 14087 KachelY + 1 18296 -2.46630555 1.36378300 -141.308899 78.139010
    Unten rechts KachelX + 1 14088 KachelY + 1 18296 -2.46625761 1.36378300 -141.306152 78.139010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36379286-1.36378300) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dl = 62.8180600001795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36379286-1.36378300) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dr = 62.8180600001795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46630555--2.46625761) × cos(1.36379286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205528266218369 × 6371000     		do = 62.7736228006213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46630555--2.46625761) × cos(1.36378300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205537915709012 × 6371000     		du = 62.7765700034414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36379286)-sin(1.36378300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205528266218369-0.205537915709012)×R²
    abs(-2.46625761--2.46630555)×9.64949064233278e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.64949064233278e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.64949064233278e-06×40589641000000     		ar = 3943.4097722881m²