Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14086 / 22270
↖ ↑ ↗
← S 54.149567°
W 25.246582°		 ← 715.48 m → S 54.149567°
W 25.235595°		 →
↑
715.40 m
↓
↑
715.40 m
↓
S 54.156001°
W 25.246582°		 ← 715.37 m →
511 814 m²		 S 54.156001°
W 25.235595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429885864257812 y=0.679641723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429885864257812 × 215)
    floor (0.429885864257812 × 32768)
    floor (14086.5)     		tx = 14086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679641723632812 × 215)
    floor (0.679641723632812 × 32768)
    floor (22270.5)     		ty = 22270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14086 / 22270 ti = "15/14086/22270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14086/22270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14086 ÷ 215
    14086 ÷ 32768     		x = 0.42987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22270 ÷ 215
    22270 ÷ 32768     		y = 0.67962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.1402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44063598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67962646484375 × 2 - 1) × π
    -0.3592529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1286263646546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44063598} λ = -0.44063598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1286263646546))-π/2
    2×atan(0.323477291222142)-π/2
    2×0.312854045212495-π/2
    0.625708090424989-1.57079632675     		φ = -0.94508824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44063598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.246582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94508824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.149567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14086 KachelY 22270 -0.44063598 -0.94508824 -25.246582 -54.149567
    Oben rechts KachelX + 1 14087 KachelY 22270 -0.44044423 -0.94508824 -25.235595 -54.149567
    Unten links KachelX 14086 KachelY + 1 22271 -0.44063598 -0.94520053 -25.246582 -54.156001
    Unten rechts KachelX + 1 14087 KachelY + 1 22271 -0.44044423 -0.94520053 -25.235595 -54.156001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94508824--0.94520053) × R
    0.000112290000000015 × 6371000     		dl = 715.399590000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94508824--0.94520053) × R
    0.000112290000000015 × 6371000     		dr = 715.399590000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44063598--0.44044423) × cos(-0.94508824) × R
    0.000191749999999991 × 0.585671358488496 × 6371000     		do = 715.479119130332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44063598--0.44044423) × cos(-0.94520053) × R
    0.000191749999999991 × 0.585580338292153 × 6371000     		du = 715.367925285937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94508824)-sin(-0.94520053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585671358488496-0.585580338292153)×R²
    abs(-0.44044423--0.44063598)×9.10201963429946e-05×R²
    0.000191749999999991×9.10201963429946e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.10201963429946e-05×40589641000000     		ar = 511813.695001969m²