Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14085 / 22269
↖ ↑ ↗
← S 54.143133°
W 25.257568°		 ← 715.59 m → S 54.143133°
W 25.246582°		 →
↑
715.53 m
↓
↑
715.53 m
↓
S 54.149567°
W 25.257568°		 ← 715.48 m →
511 984 m²		 S 54.149567°
W 25.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429855346679688 y=0.679611206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429855346679688 × 215)
    floor (0.429855346679688 × 32768)
    floor (14085.5)     		tx = 14085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679611206054688 × 215)
    floor (0.679611206054688 × 32768)
    floor (22269.5)     		ty = 22269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14085 / 22269 ti = "15/14085/22269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14085/22269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14085 ÷ 215
    14085 ÷ 32768     		x = 0.429840087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22269 ÷ 215
    22269 ÷ 32768     		y = 0.679595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.14031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44082773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.35919189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12843461705612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44082773} λ = -0.44082773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12843461705612))-π/2
    2×atan(0.323539323162944)-π/2
    2×0.312910200114609-π/2
    0.625820400229217-1.57079632675     		φ = -0.94497593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44082773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.257568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94497593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.143133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14085 KachelY 22269 -0.44082773 -0.94497593 -25.257568 -54.143133
    Oben rechts KachelX + 1 14086 KachelY 22269 -0.44063598 -0.94497593 -25.246582 -54.143133
    Unten links KachelX 14085 KachelY + 1 22270 -0.44082773 -0.94508824 -25.257568 -54.149567
    Unten rechts KachelX + 1 14086 KachelY + 1 22270 -0.44063598 -0.94508824 -25.246582 -54.149567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94497593--0.94508824) × R
    0.000112310000000004 × 6371000     		dl = 715.527010000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94497593--0.94508824) × R
    0.000112310000000004 × 6371000     		dr = 715.527010000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44082773--0.44063598) × cos(-0.94497593) × R
    0.000191749999999991 × 0.58576238750974 × 6371000     		do = 715.590323755573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44082773--0.44063598) × cos(-0.94508824) × R
    0.000191749999999991 × 0.585671358488496 × 6371000     		du = 715.479119130332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94497593)-sin(-0.94508824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58576238750974-0.585671358488496)×R²
    abs(-0.44063598--0.44082773)×9.10290212438047e-05×R²
    0.000191749999999991×9.10290212438047e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.10290212438047e-05×40589641000000     		ar = 511984.420322984m²