Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14084 / 22276
↖ ↑ ↗
← S 54.188156°
W 25.268555°		 ← 714.81 m → S 54.188156°
W 25.257568°		 →
↑
714.76 m
↓
↑
714.76 m
↓
S 54.194584°
W 25.268555°		 ← 714.70 m →
510 881 m²		 S 54.194584°
W 25.257568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429824829101562 y=0.679824829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429824829101562 × 215)
    floor (0.429824829101562 × 32768)
    floor (14084.5)     		tx = 14084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679824829101562 × 215)
    floor (0.679824829101562 × 32768)
    floor (22276.5)     		ty = 22276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14084 / 22276 ti = "15/14084/22276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14084/22276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14084 ÷ 215
    14084 ÷ 32768     		x = 0.4298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22276 ÷ 215
    22276 ÷ 32768     		y = 0.6798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44101948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.359619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.12977685024548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44101948} λ = -0.44101948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12977685024548))-π/2
    2×atan(0.323105349257574)-π/2
    2×0.312517299043241-π/2
    0.625034598086482-1.57079632675     		φ = -0.94576173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44101948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94576173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.188156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14084 KachelY 22276 -0.44101948 -0.94576173 -25.268555 -54.188156
    Oben rechts KachelX + 1 14085 KachelY 22276 -0.44082773 -0.94576173 -25.257568 -54.188156
    Unten links KachelX 14084 KachelY + 1 22277 -0.44101948 -0.94587392 -25.268555 -54.194584
    Unten rechts KachelX + 1 14085 KachelY + 1 22277 -0.44082773 -0.94587392 -25.257568 -54.194584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94576173--0.94587392) × R
    0.000112190000000068 × 6371000     		dl = 714.76249000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94576173--0.94587392) × R
    0.000112190000000068 × 6371000     		dr = 714.76249000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44101948--0.44082773) × cos(-0.94576173) × R
    0.000191750000000046 × 0.585125329315008 × 6371000     		do = 714.812068460561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44101948--0.44082773) × cos(-0.94587392) × R
    0.000191750000000046 × 0.585034345951513 × 6371000     		du = 714.700919612619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94576173)-sin(-0.94587392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585125329315008-0.585034345951513)×R²
    abs(-0.44082773--0.44101948)×9.09833634951118e-05×R²
    0.000191750000000046×9.09833634951118e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.09833634951118e-05×40589641000000     		ar = 510881.131957793m²