Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14083 / 21731
↖ ↑ ↗
← S 50.534380°
W 25.279541°		 ← 776.45 m → S 50.534380°
W 25.268555°		 →
↑
776.43 m
↓
↑
776.43 m
↓
S 50.541363°
W 25.279541°		 ← 776.34 m →
602 819 m²		 S 50.541363°
W 25.268555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429794311523438 y=0.663192749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429794311523438 × 215)
    floor (0.429794311523438 × 32768)
    floor (14083.5)     		tx = 14083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663192749023438 × 215)
    floor (0.663192749023438 × 32768)
    floor (21731.5)     		ty = 21731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14083 / 21731 ti = "15/14083/21731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14083/21731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14083 ÷ 215
    14083 ÷ 32768     		x = 0.429779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21731 ÷ 215
    21731 ÷ 32768     		y = 0.663177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.14044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44121122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.32635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02527440907376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44121122} λ = -0.44121122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02527440907376))-π/2
    2×atan(0.358698021907723)-π/2
    2×0.34440250163579-π/2
    0.68880500327158-1.57079632675     		φ = -0.88199132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44121122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88199132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.534380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14083 KachelY 21731 -0.44121122 -0.88199132 -25.279541 -50.534380
    Oben rechts KachelX + 1 14084 KachelY 21731 -0.44101948 -0.88199132 -25.268555 -50.534380
    Unten links KachelX 14083 KachelY + 1 21732 -0.44121122 -0.88211319 -25.279541 -50.541363
    Unten rechts KachelX + 1 14084 KachelY + 1 21732 -0.44101948 -0.88211319 -25.268555 -50.541363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88199132--0.88211319) × R
    0.000121869999999968 × 6371000     		dl = 776.433769999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88199132--0.88211319) × R
    0.000121869999999968 × 6371000     		dr = 776.433769999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44121122--0.44101948) × cos(-0.88199132) × R
    0.000191739999999996 × 0.635615094203651 × 6371000     		do = 776.451851933959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44121122--0.44101948) × cos(-0.88211319) × R
    0.000191739999999996 × 0.635521005097655 × 6371000     		du = 776.336914983493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88199132)-sin(-0.88211319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635615094203651-0.635521005097655)×R²
    abs(-0.44101948--0.44121122)×9.40891059968418e-05×R²
    0.000191739999999996×9.40891059968418e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.40891059968418e-05×40589641000000     		ar = 602818.818902087m²