Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1408 / 2980
↖ ↑ ↗
← S 63.074866°
W 56.250000°		 ← 4 425.46 m → S 63.074866°
W 56.162109°		 →
↑
4 422.43 m
↓
↑
4 422.43 m
↓
S 63.114637°
W 56.250000°		 ← 4 419.41 m →
19 557 915 m²		 S 63.114637°
W 56.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3438720703125 y=0.7276611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3438720703125 × 212)
    floor (0.3438720703125 × 4096)
    floor (1408.5)     		tx = 1408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7276611328125 × 212)
    floor (0.7276611328125 × 4096)
    floor (2980.5)     		ty = 2980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1408 / 2980 ti = "12/1408/2980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1408/2980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1408 ÷ 212
    1408 ÷ 4096     		x = 0.34375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2980 ÷ 212
    2980 ÷ 4096     		y = 0.7275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34375 × 2 - 1) × π
    -0.3125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7275390625 × 2 - 1) × π
    -0.455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42967009426855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98174770} λ = -0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42967009426855))-π/2
    2×atan(0.239387884653148)-π/2
    2×0.234966122629728-π/2
    0.469932245259457-1.57079632675     		φ = -1.10086408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10086408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.074866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1408 KachelY 2980 -0.98174770 -1.10086408 -56.250000 -63.074866
    Oben rechts KachelX + 1 1409 KachelY 2980 -0.98021372 -1.10086408 -56.162109 -63.074866
    Unten links KachelX 1408 KachelY + 1 2981 -0.98174770 -1.10155823 -56.250000 -63.114637
    Unten rechts KachelX + 1 1409 KachelY + 1 2981 -0.98021372 -1.10155823 -56.162109 -63.114637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10086408--1.10155823) × R
    0.000694149999999949 × 6371000     		dl = 4422.42964999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10086408--1.10155823) × R
    0.000694149999999949 × 6371000     		dr = 4422.42964999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98174770--0.98021372) × cos(-1.10086408) × R
    0.00153398000000005 × 0.452825877730534 × 6371000     		do = 4425.46122613736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98174770--0.98021372) × cos(-1.10155823) × R
    0.00153398000000005 × 0.452206865259001 × 6371000     		du = 4419.41162556021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10086408)-sin(-1.10155823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452825877730534-0.452206865259001)×R²
    abs(-0.98021372--0.98174770)×0.000619012471533675×R²
    0.00153398000000005×0.000619012471533675×6371000²
    0.00153398000000005×0.000619012471533675×40589641000000     		ar = 19557914.7602392m²