Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14077 / 21740
↖ ↑ ↗
← S 50.597186°
W 25.345459°		 ← 775.46 m → S 50.597186°
W 25.334473°		 →
↑
775.41 m
↓
↑
775.41 m
↓
S 50.604160°
W 25.345459°		 ← 775.34 m →
601 257 m²		 S 50.604160°
W 25.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429611206054688 y=0.663467407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429611206054688 × 215)
    floor (0.429611206054688 × 32768)
    floor (14077.5)     		tx = 14077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663467407226562 × 215)
    floor (0.663467407226562 × 32768)
    floor (21740.5)     		ty = 21740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14077 / 21740 ti = "15/14077/21740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14077/21740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14077 ÷ 215
    14077 ÷ 32768     		x = 0.429595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21740 ÷ 215
    21740 ÷ 32768     		y = 0.6634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.14080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44236171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02700013746008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44236171} λ = -0.44236171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02700013746008))-π/2
    2×atan(0.358079540368268)-π/2
    2×0.343854417422524-π/2
    0.687708834845047-1.57079632675     		φ = -0.88308749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44236171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88308749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.597186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14077 KachelY 21740 -0.44236171 -0.88308749 -25.345459 -50.597186
    Oben rechts KachelX + 1 14078 KachelY 21740 -0.44216996 -0.88308749 -25.334473 -50.597186
    Unten links KachelX 14077 KachelY + 1 21741 -0.44236171 -0.88320920 -25.345459 -50.604160
    Unten rechts KachelX + 1 14078 KachelY + 1 21741 -0.44216996 -0.88320920 -25.334473 -50.604160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88308749--0.88320920) × R
    0.000121710000000053 × 6371000     		dl = 775.414410000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88308749--0.88320920) × R
    0.000121710000000053 × 6371000     		dr = 775.414410000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44236171--0.44216996) × cos(-0.88308749) × R
    0.000191750000000046 × 0.634768462548737 × 6371000     		do = 775.458068511878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44236171--0.44216996) × cos(-0.88320920) × R
    0.000191750000000046 × 0.63467441223835 × 6371000     		du = 775.343172961235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88308749)-sin(-0.88320920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634768462548737-0.63467441223835)×R²
    abs(-0.44216996--0.44236171)×9.40503103863399e-05×R²
    0.000191750000000046×9.40503103863399e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.40503103863399e-05×40589641000000     		ar = 601256.815584284m²