Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14076 / 7485
↖ ↑ ↗
← N 69.422829°
W 25.356445°		 ← 429.37 m → N 69.422829°
W 25.345459°		 →
↑
429.41 m
↓
↑
429.41 m
↓
N 69.418968°
W 25.356445°		 ← 429.44 m →
184 389 m²		 N 69.418968°
W 25.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429580688476562 y=0.228439331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429580688476562 × 215)
    floor (0.429580688476562 × 32768)
    floor (14076.5)     		tx = 14076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228439331054688 × 215)
    floor (0.228439331054688 × 32768)
    floor (7485.5)     		ty = 7485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14076 / 7485 ti = "15/14076/7485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14076/7485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14076 ÷ 215
    14076 ÷ 32768     		x = 0.4295654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7485 ÷ 215
    7485 ÷ 32768     		y = 0.228424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4295654296875 × 2 - 1) × π
    -0.140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44255346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228424072265625 × 2 - 1) × π
    0.54315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70636187887552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44255346} λ = -0.44255346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70636187887552))-π/2
    2×atan(5.50888299220324)-π/2
    2×1.39122663903168-π/2
    2.78245327806336-1.57079632675     		φ = 1.21165695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44255346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21165695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.422829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14076 KachelY 7485 -0.44255346 1.21165695 -25.356445 69.422829
    Oben rechts KachelX + 1 14077 KachelY 7485 -0.44236171 1.21165695 -25.345459 69.422829
    Unten links KachelX 14076 KachelY + 1 7486 -0.44255346 1.21158955 -25.356445 69.418968
    Unten rechts KachelX + 1 14077 KachelY + 1 7486 -0.44236171 1.21158955 -25.345459 69.418968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21165695-1.21158955) × R
    6.74000000000508e-05 × 6371000     		dl = 429.405400000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21165695-1.21158955) × R
    6.74000000000508e-05 × 6371000     		dr = 429.405400000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44255346--0.44236171) × cos(1.21165695) × R
    0.000191749999999991 × 0.351468648390604 × 6371000     		do = 429.36789601839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44255346--0.44236171) × cos(1.21158955) × R
    0.000191749999999991 × 0.351531747448811 × 6371000     		du = 429.444980304534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21165695)-sin(1.21158955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351468648390604-0.351531747448811)×R²
    abs(-0.44236171--0.44255346)×6.30990582067836e-05×R²
    0.000191749999999991×6.30990582067836e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.30990582067836e-05×40589641000000     		ar = 184389.443411181m²