Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14074 / 7477
↖ ↑ ↗
← N 69.453698°
W 25.378418°		 ← 428.75 m → N 69.453698°
W 25.367431°		 →
↑
428.77 m
↓
↑
428.77 m
↓
N 69.449842°
W 25.378418°		 ← 428.83 m →
183 852 m²		 N 69.449842°
W 25.367431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429519653320312 y=0.228195190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429519653320312 × 215)
    floor (0.429519653320312 × 32768)
    floor (14074.5)     		tx = 14074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228195190429688 × 215)
    floor (0.228195190429688 × 32768)
    floor (7477.5)     		ty = 7477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14074 / 7477 ti = "15/14074/7477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14074/7477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14074 ÷ 215
    14074 ÷ 32768     		x = 0.42950439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7477 ÷ 215
    7477 ÷ 32768     		y = 0.228179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42950439453125 × 2 - 1) × π
    -0.1409912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44293695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228179931640625 × 2 - 1) × π
    0.54364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70789585966336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44293695} λ = -0.44293695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70789585966336))-π/2
    2×atan(5.51733999765934)-π/2
    2×1.39149601861884-π/2
    2.78299203723768-1.57079632675     		φ = 1.21219571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44293695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21219571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.453698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14074 KachelY 7477 -0.44293695 1.21219571 -25.378418 69.453698
    Oben rechts KachelX + 1 14075 KachelY 7477 -0.44274520 1.21219571 -25.367431 69.453698
    Unten links KachelX 14074 KachelY + 1 7478 -0.44293695 1.21212841 -25.378418 69.449842
    Unten rechts KachelX + 1 14075 KachelY + 1 7478 -0.44274520 1.21212841 -25.367431 69.449842
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21219571-1.21212841) × R
    6.72999999999924e-05 × 6371000     		dl = 428.768299999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21219571-1.21212841) × R
    6.72999999999924e-05 × 6371000     		dr = 428.768299999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44293695--0.44274520) × cos(1.21219571) × R
    0.000191749999999991 × 0.350964210481211 × 6371000     		do = 428.751654869087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44293695--0.44274520) × cos(1.21212841) × R
    0.000191749999999991 × 0.35102722865756 × 6371000     		du = 428.828640346779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21219571)-sin(1.21212841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350964210481211-0.35102722865756)×R²
    abs(-0.44274520--0.44293695)×6.30181763492943e-05×R²
    0.000191749999999991×6.30181763492943e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.30181763492943e-05×40589641000000     		ar = 183851.622716133m²