Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14073 / 10839
↖ ↑ ↗
← N 51.896834°
W 25.389404°		 ← 753.85 m → N 51.896834°
W 25.378418°		 →
↑
753.88 m
↓
↑
753.88 m
↓
N 51.890054°
W 25.389404°		 ← 753.96 m →
568 354 m²		 N 51.890054°
W 25.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429489135742188 y=0.330795288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429489135742188 × 215)
    floor (0.429489135742188 × 32768)
    floor (14073.5)     		tx = 14073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330795288085938 × 215)
    floor (0.330795288085938 × 32768)
    floor (10839.5)     		ty = 10839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14073 / 10839 ti = "15/14073/10839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14073/10839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14073 ÷ 215
    14073 ÷ 32768     		x = 0.429473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10839 ÷ 215
    10839 ÷ 32768     		y = 0.330780029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.14105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44312870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330780029296875 × 2 - 1) × π
    0.33843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06324043357285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44312870} λ = -0.44312870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06324043357285))-π/2
    2×atan(2.89573925314611)-π/2
    2×1.23828347469763-π/2
    2.47656694939527-1.57079632675     		φ = 0.90577062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44312870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90577062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.896834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14073 KachelY 10839 -0.44312870 0.90577062 -25.389404 51.896834
    Oben rechts KachelX + 1 14074 KachelY 10839 -0.44293695 0.90577062 -25.378418 51.896834
    Unten links KachelX 14073 KachelY + 1 10840 -0.44312870 0.90565229 -25.389404 51.890054
    Unten rechts KachelX + 1 14074 KachelY + 1 10840 -0.44293695 0.90565229 -25.378418 51.890054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90577062-0.90565229) × R
    0.000118329999999944 × 6371000     		dl = 753.880429999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90577062-0.90565229) × R
    0.000118329999999944 × 6371000     		dr = 753.880429999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44312870--0.44293695) × cos(0.90577062) × R
    0.000191749999999991 × 0.617079361632592 × 6371000     		do = 753.848368535281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44312870--0.44293695) × cos(0.90565229) × R
    0.000191749999999991 × 0.617172471298336 × 6371000     		du = 753.962114957509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90577062)-sin(0.90565229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617079361632592-0.617172471298336)×R²
    abs(-0.44293695--0.44312870)×9.31096657440511e-05×R²
    0.000191749999999991×9.31096657440511e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.31096657440511e-05×40589641000000     		ar = 568354.408489909m²