Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14072 / 16088
↖ ↑ ↗
← N 79.323014°
W141.350098°		 ← 56.58 m → N 79.323014°
W141.347351°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
N 79.322504°
W141.350098°		 ← 56.58 m →
3 204 m²		 N 79.322504°
W141.347351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107364654541016 y=0.122745513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107364654541016 × 217)
    floor (0.107364654541016 × 131072)
    floor (14072.5)     		tx = 14072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122745513916016 × 217)
    floor (0.122745513916016 × 131072)
    floor (16088.5)     		ty = 16088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14072 / 16088 ti = "17/14072/16088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14072/16088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14072 ÷ 217
    14072 ÷ 131072     		x = 0.10736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16088 ÷ 217
    16088 ÷ 131072     		y = 0.12274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10736083984375 × 2 - 1) × π
    -0.7852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46702460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12274169921875 × 2 - 1) × π
    0.7545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37038381241254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46702460} λ = -2.46702460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37038381241254))-π/2
    2×atan(10.7014988640792)-π/2
    2×1.47762204152584-π/2
    2.95524408305167-1.57079632675     		φ = 1.38444776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46702460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38444776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.323014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14072 KachelY 16088 -2.46702460 1.38444776 -141.350098 79.323014
    Oben rechts KachelX + 1 14073 KachelY 16088 -2.46697667 1.38444776 -141.347351 79.323014
    Unten links KachelX 14072 KachelY + 1 16089 -2.46702460 1.38443887 -141.350098 79.322504
    Unten rechts KachelX + 1 14073 KachelY + 1 16089 -2.46697667 1.38443887 -141.347351 79.322504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38444776-1.38443887) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38444776-1.38443887) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46702460--2.46697667) × cos(1.38444776) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.185271921049821 × 6371000     		do = 56.5750099132835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46702460--2.46697667) × cos(1.38443887) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.185280657132532 × 6371000     		du = 56.5776775812343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38444776)-sin(1.38443887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185271921049821-0.185280657132532)×R²
    abs(-2.46697667--2.46702460)×8.73608271087511e-06×R²
    4.79299999995852e-05×8.73608271087511e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×8.73608271087511e-06×40589641000000     		ar = 3204.38170658126m²