Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14070 / 7405
↖ ↑ ↗
← N 69.729529°
W 25.422363°		 ← 423.22 m → N 69.729529°
W 25.411377°		 →
↑
423.29 m
↓
↑
423.29 m
↓
N 69.725722°
W 25.422363°		 ← 423.29 m →
179 160 m²		 N 69.725722°
W 25.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429397583007812 y=0.225997924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429397583007812 × 215)
    floor (0.429397583007812 × 32768)
    floor (14070.5)     		tx = 14070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225997924804688 × 215)
    floor (0.225997924804688 × 32768)
    floor (7405.5)     		ty = 7405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14070 / 7405 ti = "15/14070/7405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14070/7405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14070 ÷ 215
    14070 ÷ 32768     		x = 0.42938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7405 ÷ 215
    7405 ÷ 32768     		y = 0.225982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225982666015625 × 2 - 1) × π
    0.54803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72170168675394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44370394} λ = -0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72170168675394))-π/2
    2×atan(5.59403967264418)-π/2
    2×1.39390309243574-π/2
    2.78780618487147-1.57079632675     		φ = 1.21700986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21700986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.729529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14070 KachelY 7405 -0.44370394 1.21700986 -25.422363 69.729529
    Oben rechts KachelX + 1 14071 KachelY 7405 -0.44351220 1.21700986 -25.411377 69.729529
    Unten links KachelX 14070 KachelY + 1 7406 -0.44370394 1.21694342 -25.422363 69.725722
    Unten rechts KachelX + 1 14071 KachelY + 1 7406 -0.44351220 1.21694342 -25.411377 69.725722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21700986-1.21694342) × R
    6.6440000000112e-05 × 6371000     		dl = 423.289240000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21700986-1.21694342) × R
    6.6440000000112e-05 × 6371000     		dr = 423.289240000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44370394--0.44351220) × cos(1.21700986) × R
    0.000191739999999996 × 0.346452244424559 × 6371000     		do = 423.217587567134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44370394--0.44351220) × cos(1.21694342) × R
    0.000191739999999996 × 0.346514568871904 × 6371000     		du = 423.293721587554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21700986)-sin(1.21694342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346452244424559-0.346514568871904)×R²
    abs(-0.44351220--0.44370394)×6.23244473447748e-05×R²
    0.000191739999999996×6.23244473447748e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.23244473447748e-05×40589641000000     		ar = 179159.564417829m²