Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14070 / 10841
↖ ↑ ↗
← N 51.883273°
W 25.422363°		 ← 754.04 m → N 51.883273°
W 25.411377°		 →
↑
754.14 m
↓
↑
754.14 m
↓
N 51.876491°
W 25.422363°		 ← 754.15 m →
568 688 m²		 N 51.876491°
W 25.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429397583007812 y=0.330856323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429397583007812 × 215)
    floor (0.429397583007812 × 32768)
    floor (14070.5)     		tx = 14070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330856323242188 × 215)
    floor (0.330856323242188 × 32768)
    floor (10841.5)     		ty = 10841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14070 / 10841 ti = "15/14070/10841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14070/10841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14070 ÷ 215
    14070 ÷ 32768     		x = 0.42938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10841 ÷ 215
    10841 ÷ 32768     		y = 0.330841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330841064453125 × 2 - 1) × π
    0.33831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06285693837589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44370394} λ = -0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06285693837589))-π/2
    2×atan(2.89462896395978)-π/2
    2×1.23816513335827-π/2
    2.47633026671654-1.57079632675     		φ = 0.90553394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90553394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.883273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14070 KachelY 10841 -0.44370394 0.90553394 -25.422363 51.883273
    Oben rechts KachelX + 1 14071 KachelY 10841 -0.44351220 0.90553394 -25.411377 51.883273
    Unten links KachelX 14070 KachelY + 1 10842 -0.44370394 0.90541557 -25.422363 51.876491
    Unten rechts KachelX + 1 14071 KachelY + 1 10842 -0.44351220 0.90541557 -25.411377 51.876491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90553394-0.90541557) × R
    0.000118370000000034 × 6371000     		dl = 754.135270000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90553394-0.90541557) × R
    0.000118370000000034 × 6371000     		dr = 754.135270000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44370394--0.44351220) × cos(0.90553394) × R
    0.000191739999999996 × 0.617265588057535 × 6371000     		do = 754.036544054784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44370394--0.44351220) × cos(0.90541557) × R
    0.000191739999999996 × 0.617358711904502 × 6371000     		du = 754.15030186843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90553394)-sin(0.90541557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617265588057535-0.617358711904502)×R²
    abs(-0.44351220--0.44370394)×9.31238469670248e-05×R²
    0.000191739999999996×9.31238469670248e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.31238469670248e-05×40589641000000     		ar = 568688.447794423m²