Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1407 / 2442
↖ ↑ ↗
← S 32.694866°
W 56.337891°		 ← 8 224.60 m → S 32.694866°
W 56.250000°		 →
↑
8 221.14 m
↓
↑
8 221.14 m
↓
S 32.768800°
W 56.337891°		 ← 8 217.78 m →
67 587 557 m²		 S 32.768800°
W 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3436279296875 y=0.5963134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3436279296875 × 212)
    floor (0.3436279296875 × 4096)
    floor (1407.5)     		tx = 1407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5963134765625 × 212)
    floor (0.5963134765625 × 4096)
    floor (2442.5)     		ty = 2442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1407 / 2442 ti = "12/1407/2442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1407/2442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1407 ÷ 212
    1407 ÷ 4096     		x = 0.343505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2442 ÷ 212
    2442 ÷ 4096     		y = 0.59619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343505859375 × 2 - 1) × π
    -0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.604388430409668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98328169} λ = -0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604388430409668))-π/2
    2×atan(0.54640849129458)-π/2
    2×0.500081633498619-π/2
    1.00016326699724-1.57079632675     		φ = -0.57063306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57063306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.694866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1407 KachelY 2442 -0.98328169 -0.57063306 -56.337891 -32.694866
    Oben rechts KachelX + 1 1408 KachelY 2442 -0.98174770 -0.57063306 -56.250000 -32.694866
    Unten links KachelX 1407 KachelY + 1 2443 -0.98328169 -0.57192346 -56.337891 -32.768800
    Unten rechts KachelX + 1 1408 KachelY + 1 2443 -0.98174770 -0.57192346 -56.250000 -32.768800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57063306--0.57192346) × R
    0.00129040000000002 × 6371000     		dl = 8221.13840000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57063306--0.57192346) × R
    0.00129040000000002 × 6371000     		dr = 8221.13840000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98328169--0.98174770) × cos(-0.57063306) × R
    0.00153398999999999 × 0.841559187018114 × 6371000     		do = 8224.60025673946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98328169--0.98174770) × cos(-0.57192346) × R
    0.00153398999999999 × 0.840861457752481 × 6371000     		du = 8217.78131353763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57063306)-sin(-0.57192346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841559187018114-0.840861457752481)×R²
    abs(-0.98174770--0.98328169)×0.000697729265633162×R²
    0.00153398999999999×0.000697729265633162×6371000²
    0.00153398999999999×0.000697729265633162×40589641000000     		ar = 67587556.6359502m²