Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14069 / 21751
↖ ↑ ↗
← S 50.673835°
W 25.433350°		 ← 774.19 m → S 50.673835°
W 25.422363°		 →
↑
774.14 m
↓
↑
774.14 m
↓
S 50.680797°
W 25.433350°		 ← 774.08 m →
599 291 m²		 S 50.680797°
W 25.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429367065429688 y=0.663803100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429367065429688 × 215)
    floor (0.429367065429688 × 32768)
    floor (14069.5)     		tx = 14069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663803100585938 × 215)
    floor (0.663803100585938 × 32768)
    floor (21751.5)     		ty = 21751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14069 / 21751 ti = "15/14069/21751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14069/21751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14069 ÷ 215
    14069 ÷ 32768     		x = 0.429351806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21751 ÷ 215
    21751 ÷ 32768     		y = 0.663787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    -0.14129638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44389569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663787841796875 × 2 - 1) × π
    -0.32757568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02910936104337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44389569} λ = -0.44389569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02910936104337))-π/2
    2×atan(0.357325066513765)-π/2
    2×0.343185528544623-π/2
    0.686371057089246-1.57079632675     		φ = -0.88442527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44389569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88442527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.673835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14069 KachelY 21751 -0.44389569 -0.88442527 -25.433350 -50.673835
    Oben rechts KachelX + 1 14070 KachelY 21751 -0.44370394 -0.88442527 -25.422363 -50.673835
    Unten links KachelX 14069 KachelY + 1 21752 -0.44389569 -0.88454678 -25.433350 -50.680797
    Unten rechts KachelX + 1 14070 KachelY + 1 21752 -0.44370394 -0.88454678 -25.422363 -50.680797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88442527--0.88454678) × R
    0.000121509999999936 × 6371000     		dl = 774.140209999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88442527--0.88454678) × R
    0.000121509999999936 × 6371000     		dr = 774.140209999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44389569--0.44370394) × cos(-0.88442527) × R
    0.000191749999999991 × 0.633734189032109 × 6371000     		do = 774.194559388505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44389569--0.44370394) × cos(-0.88454678) × R
    0.000191749999999991 × 0.633640190185394 × 6371000     		du = 774.079726707904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88442527)-sin(-0.88454678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633734189032109-0.633640190185394)×R²
    abs(-0.44370394--0.44389569)×9.39988467150155e-05×R²
    0.000191749999999991×9.39988467150155e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.39988467150155e-05×40589641000000     		ar = 599290.691225436m²