Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14068 / 21717
↖ ↑ ↗
← S 50.436516°
W 25.444336°		 ← 778.10 m → S 50.436516°
W 25.433350°		 →
↑
778.03 m
↓
↑
778.03 m
↓
S 50.443513°
W 25.444336°		 ← 777.99 m →
605 339 m²		 S 50.443513°
W 25.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429336547851562 y=0.662765502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429336547851562 × 215)
    floor (0.429336547851562 × 32768)
    floor (14068.5)     		tx = 14068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662765502929688 × 215)
    floor (0.662765502929688 × 32768)
    floor (21717.5)     		ty = 21717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14068 / 21717 ti = "15/14068/21717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14068/21717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14068 ÷ 215
    14068 ÷ 32768     		x = 0.4293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21717 ÷ 215
    21717 ÷ 32768     		y = 0.662750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44408744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.32550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02258994269504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44408744} λ = -0.44408744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02258994269504))-π/2
    2×atan(0.359662228298433)-π/2
    2×0.345256529541123-π/2
    0.690513059082245-1.57079632675     		φ = -0.88028327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44408744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88028327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.436516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14068 KachelY 21717 -0.44408744 -0.88028327 -25.444336 -50.436516
    Oben rechts KachelX + 1 14069 KachelY 21717 -0.44389569 -0.88028327 -25.433350 -50.436516
    Unten links KachelX 14068 KachelY + 1 21718 -0.44408744 -0.88040539 -25.444336 -50.443513
    Unten rechts KachelX + 1 14069 KachelY + 1 21718 -0.44389569 -0.88040539 -25.433350 -50.443513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88028327--0.88040539) × R
    0.000122120000000003 × 6371000     		dl = 778.026520000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88028327--0.88040539) × R
    0.000122120000000003 × 6371000     		dr = 778.026520000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44408744--0.44389569) × cos(-0.88028327) × R
    0.000191749999999991 × 0.636932791436168 × 6371000     		do = 778.102097630448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44408744--0.44389569) × cos(-0.88040539) × R
    0.000191749999999991 × 0.636838642017977 × 6371000     		du = 777.987081005822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88028327)-sin(-0.88040539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636932791436168-0.636838642017977)×R²
    abs(-0.44389569--0.44408744)×9.41494181900815e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41494181900815e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41494181900815e-05×40589641000000     		ar = 605339.324984126m²