Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14068 / 18588
↖ ↑ ↗
← N 77.973035°
W141.361084°		 ← 63.64 m → N 77.973035°
W141.358337°		 →
↑
63.65 m
↓
↑
63.65 m
↓
N 77.972462°
W141.361084°		 ← 63.65 m →
4 051 m²		 N 77.972462°
W141.358337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107334136962891 y=0.141819000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107334136962891 × 217)
    floor (0.107334136962891 × 131072)
    floor (14068.5)     		tx = 14068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141819000244141 × 217)
    floor (0.141819000244141 × 131072)
    floor (18588.5)     		ty = 18588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14068 / 18588 ti = "17/14068/18588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14068/18588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14068 ÷ 217
    14068 ÷ 131072     		x = 0.107330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18588 ÷ 217
    18588 ÷ 131072     		y = 0.141815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107330322265625 × 2 - 1) × π
    -0.78533935546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46721635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141815185546875 × 2 - 1) × π
    0.71636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2505415633624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46721635} λ = -2.46721635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2505415633624))-π/2
    2×atan(9.49287543806397)-π/2
    2×1.465841252718-π/2
    2.93168250543601-1.57079632675     		φ = 1.36088618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46721635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.361084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36088618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.973035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14068 KachelY 18588 -2.46721635 1.36088618 -141.361084 77.973035
    Oben rechts KachelX + 1 14069 KachelY 18588 -2.46716841 1.36088618 -141.358337 77.973035
    Unten links KachelX 14068 KachelY + 1 18589 -2.46721635 1.36087619 -141.361084 77.972462
    Unten rechts KachelX + 1 14069 KachelY + 1 18589 -2.46716841 1.36087619 -141.358337 77.972462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36088618-1.36087619) × R
    9.99000000012629e-06 × 6371000     		dl = 63.6462900008046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36088618-1.36087619) × R
    9.99000000012629e-06 × 6371000     		dr = 63.6462900008046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46721635--2.46716841) × cos(1.36088618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208372019792329 × 6371000     		do = 63.6421783403249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46721635--2.46716841) × cos(1.36087619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20838179049785 × 6371000     		du = 63.6451625652891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36088618)-sin(1.36087619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208372019792329-0.20838179049785)×R²
    abs(-2.46716841--2.46721635)×9.7707055214391e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7707055214391e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7707055214391e-06×40589641000000     		ar = 4050.68350625333m²