Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14068 / 10843
↖ ↑ ↗
← N 51.869708°
W 25.444336°		 ← 754.30 m → N 51.869708°
W 25.433350°		 →
↑
754.39 m
↓
↑
754.39 m
↓
N 51.862924°
W 25.444336°		 ← 754.42 m →
569 082 m²		 N 51.862924°
W 25.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429336547851562 y=0.330917358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429336547851562 × 215)
    floor (0.429336547851562 × 32768)
    floor (14068.5)     		tx = 14068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330917358398438 × 215)
    floor (0.330917358398438 × 32768)
    floor (10843.5)     		ty = 10843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14068 / 10843 ti = "15/14068/10843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14068/10843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14068 ÷ 215
    14068 ÷ 32768     		x = 0.4293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10843 ÷ 215
    10843 ÷ 32768     		y = 0.330902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44408744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330902099609375 × 2 - 1) × π
    0.33819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06247344317892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44408744} λ = -0.44408744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06247344317892))-π/2
    2×atan(2.89351910048237)-π/2
    2×1.23804675630796-π/2
    2.47609351261592-1.57079632675     		φ = 0.90529719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44408744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90529719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.869708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14068 KachelY 10843 -0.44408744 0.90529719 -25.444336 51.869708
    Oben rechts KachelX + 1 14069 KachelY 10843 -0.44389569 0.90529719 -25.433350 51.869708
    Unten links KachelX 14068 KachelY + 1 10844 -0.44408744 0.90517878 -25.444336 51.862924
    Unten rechts KachelX + 1 14069 KachelY + 1 10844 -0.44389569 0.90517878 -25.433350 51.862924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90529719-0.90517878) × R
    0.000118410000000013 × 6371000     		dl = 754.390110000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90529719-0.90517878) × R
    0.000118410000000013 × 6371000     		dr = 754.390110000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44408744--0.44389569) × cos(0.90529719) × R
    0.000191749999999991 × 0.617451834967461 × 6371000     		do = 754.303396580736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44408744--0.44389569) × cos(0.90517878) × R
    0.000191749999999991 × 0.617544972973626 × 6371000     		du = 754.417177624733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90529719)-sin(0.90517878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617451834967461-0.617544972973626)×R²
    abs(-0.44389569--0.44408744)×9.3138006164839e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3138006164839e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3138006164839e-05×40589641000000     		ar = 569081.940631696m²