Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14067 / 10835
↖ ↑ ↗
← N 51.923943°
W 25.455323°		 ← 753.39 m → N 51.923943°
W 25.444336°		 →
↑
753.43 m
↓
↑
753.43 m
↓
N 51.917167°
W 25.455323°		 ← 753.51 m →
567 675 m²		 N 51.917167°
W 25.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429306030273438 y=0.330673217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429306030273438 × 215)
    floor (0.429306030273438 × 32768)
    floor (14067.5)     		tx = 14067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330673217773438 × 215)
    floor (0.330673217773438 × 32768)
    floor (10835.5)     		ty = 10835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14067 / 10835 ti = "15/14067/10835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14067/10835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14067 ÷ 215
    14067 ÷ 32768     		x = 0.429290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10835 ÷ 215
    10835 ÷ 32768     		y = 0.330657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.14141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44427919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330657958984375 × 2 - 1) × π
    0.33868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06400742396677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44427919} λ = -0.44427919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06400742396677))-π/2
    2×atan(2.89796110929882)-π/2
    2×1.23852005026011-π/2
    2.47704010052023-1.57079632675     		φ = 0.90624377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44427919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.455323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90624377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.923943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14067 KachelY 10835 -0.44427919 0.90624377 -25.455323 51.923943
    Oben rechts KachelX + 1 14068 KachelY 10835 -0.44408744 0.90624377 -25.444336 51.923943
    Unten links KachelX 14067 KachelY + 1 10836 -0.44427919 0.90612551 -25.455323 51.917167
    Unten rechts KachelX + 1 14068 KachelY + 1 10836 -0.44408744 0.90612551 -25.444336 51.917167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90624377-0.90612551) × R
    0.000118260000000037 × 6371000     		dl = 753.434460000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90624377-0.90612551) × R
    0.000118260000000037 × 6371000     		dr = 753.434460000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44427919--0.44408744) × cos(0.90624377) × R
    0.000191749999999991 × 0.616706970402057 × 6371000     		do = 753.393440791704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44427919--0.44408744) × cos(0.90612551) × R
    0.000191749999999991 × 0.616800059510535 × 6371000     		du = 753.507162100368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90624377)-sin(0.90612551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616706970402057-0.616800059510535)×R²
    abs(-0.44408744--0.44427919)×9.30891084780505e-05×R²
    0.000191749999999991×9.30891084780505e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.30891084780505e-05×40589641000000     		ar = 567675.421668457m²