Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14066 / 7378
↖ ↑ ↗
← N 69.832048°
W 25.466308°		 ← 421.17 m → N 69.832048°
W 25.455323°		 →
↑
421.25 m
↓
↑
421.25 m
↓
N 69.828260°
W 25.466308°		 ← 421.24 m →
177 433 m²		 N 69.828260°
W 25.455323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429275512695312 y=0.225173950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429275512695312 × 215)
    floor (0.429275512695312 × 32768)
    floor (14066.5)     		tx = 14066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225173950195312 × 215)
    floor (0.225173950195312 × 32768)
    floor (7378.5)     		ty = 7378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14066 / 7378 ti = "15/14066/7378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14066/7378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14066 ÷ 215
    14066 ÷ 32768     		x = 0.42926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7378 ÷ 215
    7378 ÷ 32768     		y = 0.22515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42926025390625 × 2 - 1) × π
    -0.1414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44447093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22515869140625 × 2 - 1) × π
    0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44447093} λ = -0.44447093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7268788719129))-π/2
    2×atan(5.6230761505714)-π/2
    2×1.39479774145818-π/2
    2.78959548291636-1.57079632675     		φ = 1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44447093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14066 KachelY 7378 -0.44447093 1.21879916 -25.466308 69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 14067 KachelY 7378 -0.44427919 1.21879916 -25.455323 69.832048
    Unten links KachelX 14066 KachelY + 1 7379 -0.44447093 1.21873304 -25.466308 69.828260
    Unten rechts KachelX + 1 14067 KachelY + 1 7379 -0.44427919 1.21873304 -25.455323 69.828260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21879916-1.21873304) × R
    6.61200000000584e-05 × 6371000     		dl = 421.250520000372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21879916-1.21873304) × R
    6.61200000000584e-05 × 6371000     		dr = 421.250520000372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44447093--0.44427919) × cos(1.21879916) × R
    0.000191739999999996 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 421.166515717971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44447093--0.44427919) × cos(1.21873304) × R
    0.000191739999999996 × 0.344835271510304 × 6371000     		du = 421.242333006237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21879916)-sin(1.21873304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.344835271510304)×R²
    abs(-0.44427919--0.44447093)×6.20651656678683e-05×R²
    0.000191739999999996×6.20651656678683e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.20651656678683e-05×40589641000000     		ar = 177432.582853291m²