Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14066 / 3563
↖ ↑ ↗
← N 80.217990°
W 25.466308°		 ← 207.55 m → N 80.217990°
W 25.455323°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
N 80.216123°
W 25.466308°		 ← 207.59 m →
43 084 m²		 N 80.216123°
W 25.455323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429275512695312 y=0.108749389648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429275512695312 × 215)
    floor (0.429275512695312 × 32768)
    floor (14066.5)     		tx = 14066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108749389648438 × 215)
    floor (0.108749389648438 × 32768)
    floor (3563.5)     		ty = 3563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14066 / 3563 ti = "15/14066/3563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14066/3563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14066 ÷ 215
    14066 ÷ 32768     		x = 0.42926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3563 ÷ 215
    3563 ÷ 32768     		y = 0.108734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42926025390625 × 2 - 1) × π
    -0.1414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44447093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108734130859375 × 2 - 1) × π
    0.78253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45839596011496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44447093} λ = -0.44447093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45839596011496))-π/2
    2×atan(11.6860516052879)-π/2
    2×1.48543218153672-π/2
    2.97086436307345-1.57079632675     		φ = 1.40006804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44447093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40006804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.217990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14066 KachelY 3563 -0.44447093 1.40006804 -25.466308 80.217990
    Oben rechts KachelX + 1 14067 KachelY 3563 -0.44427919 1.40006804 -25.455323 80.217990
    Unten links KachelX 14066 KachelY + 1 3564 -0.44447093 1.40003546 -25.466308 80.216123
    Unten rechts KachelX + 1 14067 KachelY + 1 3564 -0.44427919 1.40003546 -25.455323 80.216123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40006804-1.40003546) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dl = 207.567180000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40006804-1.40003546) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dr = 207.567180000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44447093--0.44427919) × cos(1.40006804) × R
    0.000191739999999996 × 0.169900092507238 × 6371000     		do = 207.545797250574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44447093--0.44427919) × cos(1.40003546) × R
    0.000191739999999996 × 0.169932198745964 × 6371000     		du = 207.585017446483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40006804)-sin(1.40003546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169900092507238-0.169932198745964)×R²
    abs(-0.44427919--0.44447093)×3.21062387258209e-05×R²
    0.000191739999999996×3.21062387258209e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.21062387258209e-05×40589641000000     		ar = 43083.7662725551m²